第七节函数的连续性一、函数的连续性的概念二、函数的间断点三、初等函数的连续性四、小结思考题经济数学微积分
一、函数的连续性的概念 二、函数的间断点 四、小结 思考题 第七节 函数的连续性 三、初等函数的连续性
一、函数的连续性(continuity)1.函数的增量(increment)设变量u从它的初值u,变到终值u,则Au=u,-ui称为变量u的增量注意：(1)△u可正可负；，不能看作△(2) △u 是一个整体,与u的乘积.经济数学微积分
一、函数的连续性(continuity) 1.函数的增量(increment) . 2 1 1 2 称为变量 的增量 设变量 从它的初值 变到终值 则 u u u u u u u = − 注意： (1) u 可正可负； . (2) 与 的乘积 是一个整体，不能看作 u u
设函数 f(x)在U(xo,)内有定义,当x在U(x,)内由x变到x+△x时,称Ax为自变量 x在点xo的增量；相应地，函数y从f(x)变到f(x+△x)，Ay = f(x。 +Ax) - f(xo)称为函数 f(x)相应于△x的增量yyy= f(x)y= f(x)AyAyArAxoT1Xo+Ax xX +ArxxoXo化经济数学微积分
的增量；相应地，函数 从 变到 ， 内由 变到 时，称 为自变量 在点 设函数 在 内有定义 当 在 ( ) ( ) ( ) ( , ) , ( , ) 0 0 0 0 0 0 0 y f x f x x x x x x x x f x U x x U x + + ( ) . ( ) ( ) 0 0 称为函数 f x 相应于 x的增量 y f x x f x = + − x y 0 x y 0 0 x x0 + x y = f (x) x 0 x x0 + x x y y y = f (x)
2.连续的定义定义1设函数f(x)在U(xo,)内有定义,如果当自变量的增量^x趋向于零时，对应的函数的增量Ay也趋向于零，即limAy=0或Ar→0lim[f(x。+△x)-f(x)]=0,那末就称函数f(x)在Ax点x.连续，x.称为f(x)的连续点设 x= x,+Ax,Ay= f(x)- f(x)Ax→0就是x→x,Ay→0 就是f(x)→f(x,)经济数学微积分
2.连续的定义 定义 1 设函数 f ( x)在 ( , ) U x0 内有定义,如果当 自变量的增量x趋向于零时,对应的函数的增量 y也趋向于零,即 lim 0 0 = → y x 或 lim[ ( ) ( )] 0 0 0 0 + − = → f x x f x x ,那末就称函数 f (x)在 点 0 x 连续, 0 x 称为 f (x)的连续点. , 0 设 x = x + x ( ) ( ), x0 y = f x − f 0 , x → 就是 x → x0 0 ( ) ( ). x0 y → 就是 f x → f
定义 2 设函数f(x)在U(x,S)内有定义,如果函数f(x)当x一→x,时的极限存在，且等于它在点x,处的函数值f(x),即 limf(x)=f(x)x-→Xo那末就称函数f(x)在点x.连续"-8"定义：>0,>0,使当x-x<时恒有f(x)-f(x,)<8.经济数学微积分
定义 2 设函数 f (x)在 ( , ) U x0 内有定义,如果 函 数 f (x)当x → x0时的极限存在,且等于它在 点x 0处的函数值 ( ) x0 f ,即 lim ( ) ( )0 0 f x f x x x = → 那末就称函数 f (x)在 点 0 x 连 续. " − "定义: ( ) ( ) . 0, 0, , 0 0 − − f x f x x x 恒有 使当 时