第七节函数的微分微分的定义一、微分的几何意义二三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则四、微分在近似计算中的应用五、小结思考题经济数学微积分
一、微分的定义 二、微分的几何意义 三、基本初等函数的微分公式 与微分运算法则 五、小结 思考题 第七节 函数的微分 四、微分在近似计算中的应用
一、 微分的定义(differential)1.实例：正方形金属薄片受热后面积的改变量(Ar)设边长由x.变到x。+△x，XAXAr：正方形面积A= x°，.. △A = (x, + Ax)? - x?.2XoA=xoXAt= 2x。 : △x +(△x)?(1)(2)(1)：△x的线性函数且为△A的主要部分2：△x的高阶无穷小当△x很小时可忽略经济数学微积分
一、微分的定义(differential) 1.实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量. 2 A = x0 x0 0 x , 设边长由x0变到x0 + x , 2 正方形面积 A = x0 2 0 2 0 A = (x + x) − x 2 ( ) . 2 = x0 x + x (1) (2) x的线性函数,且为A的主要部分; x的高阶无穷小,当x很小时可忽略. (1): (2): x x 2 (x) x x 0 x x 0
再例如，设函数y=x在点x,处的改变量为△x时，求函数的改变量△yAy =(xo + Ax)3 - x)= 3x . Ax +3x (Ax) +(Ax)3(1)(2)当△x很小时，(2)是△x的高阶无穷小o(△x),既容易计算又是较好的近似值:. Ay ~ 3x Ax.问题：这个线性函数(改变量的主要部分)是否所有函数的改变量都有?它是什么?如何求？经济数学微积分
再例如, , . 0 3 x y y x x = 为 时 求函数的改变量 设函数 在点 处的改变量 3 0 3 0 y = (x + x) − x 3 3 ( ) ( ) . 2 3 0 2 = x0 x + x x + x (1) (2) 当x很小时, 3 . 2 0 y x x (2)是x的高阶无穷小o(x), 既容易计算又是较好的近似值 问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否 所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?
2.定义设函数y= f(x)在某区间内有定义x及xo+△x在这区间内，如果Ay = f(xo + Ax) - f(xo) = A. △x + o(Ax)成立(其中A是与△x无关的常数)，则称函数y=f(x)在点x,可微，并且称A·△r为函数y=f(x)在点x,相应于自变量增量△r的微分记作dy x=x或df(xo)，即dy= A.Ax.X=X微分dy叫做函数增量△y的线性主部（微分的实质）经济数学微积分
2. 定义 d d ( ), d . ( ) , ( ) , ( ), ( ) ( ) ( ) , ( ) , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 y f x y A x y f x x x y f x x A x A x y f x x f x A x o x x x x y f x x x x x = = = = + − = + + = 记作 = 或 即 = 在点 相应于自变量增量 的微分 在点 可微 并且称 为函数 成立 其中 是与 无关的常数 则称函数 及 在这区间内 如果 设函数 在某区间内有定义 微分dy叫做函数增量y的线性主部. (微分的实质)
由定义知：(1)dy是自变量的改变量△x的线性函数(2)Ay－dy=o(△x)是比△x高阶无穷小:(3)当A≠0时,dy与Ay是等价无穷小Ay0(△x)→1 (△x →0),dyA.△r(4) A是与△x无关的常数,但与f(x)和x,有关(5)当△x|很小时,Ay~dy (线性主部)。经济数学微积分
由定义知: (1) dy是自变量的改变量x的线性函数; (2) y − dy = o(x)是比x高阶无穷小; (3)当A 0时,dy与y是等价无穷小; y y d A x o x = + ( ) 1 → 1 (x → 0). (4) , ( ) ; A是与x无关的常数 但与f x 和x0有关 (5)当x很小时,y dy (线性主部)