定理1β与α是等价无穷小的的充分必要条件为β=α+o(α).称α是β 的主要部分.证必要性设α~β,ββ-α=0Timααβ-α=o(α),即β=α+o(α),充分性设β= α+o(α)βα+ o(α)= lim( 1 +0(α))inlimαααα~β.经济数学微积分
为 称 是 的主要部分． 定 理 与 是等价无穷小的的充分必要条件 = + ( ). 1 o 证 必要性 设 ~ ， lim lim − 1 = − = 0， − = o()，即 = + o()． 充分性 设 = + o()． + = ( ) lim lim o （１＋ ） = ( ) lim o = 1， ~ ．
意义：用等价无穷小可给出函数的近似表达式例如，当x→0时,sinx ~ x,1-cosx2sin x = x + o(x)2x21-cosx=2y=1cosx常用等价无穷小：当x→0时x ~ sin x ~ tanx ~ arcsinx ~ arctanx ~ ln(1+ x)1x ~ex-1, 1-cosx(1+x)" -1 ~ ax (a± 0)2经济数学微积分
意义：用等价无穷小可给出函数的近似表达式． 例如, sin x = x + o(x), ( ). 2 1 1 cos 2 2 − x = x + o x 当x → 0时, y = 1 − cos x 2 2 1 y = x 常用等价无穷小: 当x → 0时, , (1 ) 1 ~ ( 0) 2 1 ~ 1, 1 cos ~ ~ sin ~ tan ~ arcsin ~ arctan ~ ln(1 ) 2 − − + − + x e x x x ax a x x x x x x x a . 2 1 sin ~ , 1 cos ~ 2 x x − x x