定义1.设K是一个数域，形为anan + an-1an-1 +...air + ao的一个表达式称为K上的一个多项式，其中an,an-1,..,ai,aoEK.当an≠0时n称为这个多项式的次数。ann称为该多项式的首项，an称为首项系数。称为不定元（或变量）。ao称为常数项。0是一个特殊的多项式，规定其次数等于一0.数域K上以为不定元的多项式全体所构成的集合记作K[c].多项式可以简记为f(α),g(),α(α)等。设 f(α) E K[a].则 f(a)的次数记作 deg(f(c))或 deg(f)
½Â1. K ´ê§/ anx n + an−1x n−1 + · · · a1x + a0 Lª¡ K þõª§Ù ¥an, an−1, . . . , a1, a0 ∈ K. an 6= 0 n ¡ ùõªgê" anx n ¡TõªÄ §an ¡ÄXê" x ¡Ø½£½C þ¤"a0 ¡~ê" 0 ´AÏõ ª§5½Ùgê u −∞. ê K þ± x ؽõª N¤¤ 8ÜP K[x]. õª±{P f(x), g(x), α(x) " f(x) ∈ K[x]. K f(x) gêP deg(f(x)) ½ deg(f).
多项式之间可以按通常的方式定义加减法和乘法和乘方。它们满足交换律、结合律、分配律等。设 f(α),g(c) E K[cl,则 f(g(ac))也按通常的法则计算。. deg(fg) = deg(f) + deg(g). 设 c E K, c 0, f(α) E K[a], 则deg(cf(α) =deg(f). deg(f ± g) ≤ max(deg(f), deg(g)).·如果 f(α),g(c) E K[g)满足 f(c)0, f(c)g(a) =0 则 g(α) = 0.证明: deg(f)+deg(g) = deg(0) = -o 得 deg(g) =-8口· 如果 f(c),g(a),h(α) E K[g] 满足 f(a) ≠0, f(α)g(α) = f(α)h(α), 则 g(α) = h(c).证明： f(α)[g(α) -h(c)) = 0
õªm±UÏ~ª½Â\~{Ú ¦{Ú¦"§÷vÆ!(ÜÆ!© Æ " f(x), g(x) ∈ K[x], K f(g(x)) UÏ~{ KO" • deg(fg) = deg(f) + deg(g). • c ∈ K, c 6= 0, f(x) ∈ K[x], Kdeg(cf(x)) = deg(f). • deg(f ± g) ≤ max(deg(f), deg(g)). • XJ f(x), g(x) ∈ K[x] ÷v f(x) 6= 0, f(x)g(x) = 0 K g(x) = 0. y²µdeg(f)+deg(g) = deg(0) = −∞ deg(g) = −∞ ✷ • XJ f(x), g(x), h(x) ∈ K[x] ÷v f(x) 6= 0, f(x)g(x) = f(x)h(x), K g(x) = h(x). y²µf(x)[g(x) − h(x)] = 0. ✷
带余除法定理1.设K是一个数域,f(α),g(α)EK[a].如果 g(α) ≠ 0 则存在唯一的一对多项式 q(α),r(α)满足1) f(α) = g(α)q(c) +r(c);2) deg(r) < deg(g).q(α)称为商,r(α)称为余式证明：存在性：对f(c)的次数进行归纳即可。唯一性：利用次数。口
{Ø{ ½n1. K ´ê,f(x), g(x) ∈ K[x]. X J g(x) 6= 0 K3éõª q(x), r(x) ÷v 1) f(x) = g(x)q(x) + r(x); 2) deg(r) < deg(g). q(x) ¡û, r(x) ¡{ª. y²µ35µé f(x) gê?18B= " 5µ|^gê" ✷
例1.设 f(α) = 2α4-5α + 1,g(α)= 2 - +2,求g(α)除f(α)的商和余式。求解的方法叫带余除法或长除法（longdivision)
~1. f(x) = 2x 4 − 5x + 1, g(x) = x 2 − x + 2, ¦ g(x) Ø f(x) ûÚ{ª" ¦){{Ø{½Ø{£long division¤
作业：p.187: 1,2,6,7
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