第三节高阶导数三: 导的究高阶导数的求导法则三、小结思考题经济数学微积分
一、高阶导数的定义 二、高阶导数的求导法则 三、小结 思考题 第三节 高阶导数
高阶导数的定义(derivative of higher orders)问题：变速直线运动的加速度设s= f(t)，则瞬时速度为v(t)= f'(t)：加速度a是速度对时间的变化率:. a(t) =v'(t) =[f'(t)]}'定义如果函数f(x)的导数f(x)在点x处可导,即f'(x + △x)- f'(x)(f(x)= limArAr-→0存在,则称(f(x))为函数f(x)在点x处的二阶导数经济数学微积分
一、高阶导数的定义 问题:变速直线运动的加速度. 设 s = f (t), 则瞬时速度为v(t) = f (t) 加速度a是速度v对时间t的变化率 a(t) = v(t) = [ f (t)] . 定义 , ( ( )) ( ) . ( ) ( ) ( ( )) lim ( ) ( ) , 0 存 在 则 称 为函数 在 点 处的二阶导数 如果函数 的导数 在 点 处可导 即 f x f x x x f x x f x f x f x f x x x + − = → (derivative of higher orders)
d°f(x)2或记作f"(x), ydx?dx二阶导数的导数称为三阶导数，f"(x)，j"dxd4三阶导数的导数称为四阶导数，f(4)(x),j(4),dx一般地，函数f(x)的n-1阶导数的导数称为函数f(x)的n阶导数,记作d"f(x)df(n) (x), y(n),或dx"dx二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数相应地，f(x)称为零阶导数;f(x)称为一阶导数经济数学微积分
记作 . d d ( ) d d ( ), , 2 2 2 2 x f x x y f x y 或 函 数 的 阶导数 记 作 一般地 函 数 的 阶导数的导数称为 ( ) , , ( ) 1 f x n f x n − . d d ( ) d d ( ), , ( ) ( ) n n n n n n x f x x y f x y 或 三阶导数的导数称为四阶导数, 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数. 相应地, f (x)称为零阶导数; f (x)称为一阶导数. . d d ( ), , 3 3 x y 二阶导数的导数称为三阶导数 f x y , . d d ( ), , 4 4 (4) (4) x y f x y
高阶导数的求法法则1.直接法：由高阶导数的定义逐步求高阶导数例1 设 y=arctanx,求f"(O), f"(0)1-2x解11+x?(1+x)22x2(3x2 -1)(1+ x°)3-2x2(3x2 -1)-2f"(0) :=f"(0)/x=0 = 0;x=0(1+x2)(1+x")3L微积分经济数学
二、 高阶导数的求法法则 例1 设 y = arctan x,求f (0), f (0). 解 2 1 1 x y + = ) 1 1 ( 2 + = x y 2 2 (1 ) 2 x x + − = ) (1 ) 2 ( 2 2 + − = x x y 2 3 2 (1 ) 2(3 1) x x + − = 2 2 0 (1 ) 2 (0) = + − = x x x f 2 3 0 2 (1 ) 2(3 1) (0) = + − = x x x = 0; f = −2. 1.直接法:由高阶导数的定义逐步求高阶导数
例2 设 =xα (α R),求y("),解 J'=αxα-1y" =(αxα-l)' = α(α-1)xα-2j" =(α(α-1)xα-2) =α(α-1)(α-2)xα-3y(n) = α(α-1)...(α-n+ 1)xα-n(n ≥1)若α为自然数n,则y(n+1) =(n!)' = 0.y(n) =(x")(") =n!,福经济数学微积分
例 2 ( ), . (n) 设 y = x R 求y 解 −1 y = x( ) 1 = − y x 2 ( 1) − = − x 3 ( 1)( 2) − ( ( 1) ) = − − x 2 = − − y x ( 1) ( 1) ( 1) ( ) = − − + − y n x n n n 若为自然数n,则 ( ) ( ) ( ) n n n y = x = n!, ( !) ( 1) = + y n n = 0