第八节闭区间上连续函数的性质最大值最小值定理与有界性一二、零零点定理与介值定理三、均衡价格的存在性四、小结思考题经济数学微积分
一、最大值最小值定理与有界性 二、零点定理与介值定理 四、小结 思考题 第八节 闭区间上连续 函数的性质 三、均衡价格的存在性
一、最大值和最小值定理与有界性定义：对于在区间I上有定义的函数f(x)如果有xEI使得对于任一x EI都有f(x)≤ f(x)(f(x)≥ f(x)则称f(x)是函数f(x)在区间I上的最大(小)值例如, =1+sinX,在[0,2元]上,Jmx = 2, Jmin = 0;y= sgnx,在(-o0,+0)上, Jmx = 1, min = -1;在(0,+o0)上, Ymax = Ymin =1.华经济数学微积分
一、最大值和最小值定理与有界性 定义: ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ) ( ( ) ( )) , ( ), 0 0 0 0 则 称 是函数 在区间 上的最大 小 值 如果有 使得对于任一 都 有 对于在区间 上有定义的函数 f x f x I f x f x f x f x x I x I I f x 例如, y = sgn x,在(−,+)上, 2, ymax = 1; ymin = − 在(0,+)上, 1. ymax = ymin = y = 1+ sin x, 在[0,2]上, 0; ymin = 1, ymax =
在闭区间定理1（有界性和最大值和最小值定理）上连续的函数有界且一定有最大值和最小值若 f(x) E C[a,b]Jy= f(x)则35,,5, E[a,b],使得VxE[a,b];有 f(5)≥ f(x),:a520S1bxf(5,) ≤ f(x)注意：1.若区间是开区间，定理不一定成立；2.若区间内有间断点，定理不一定成立经济数学微积分
定理1(有界性和最大值和最小值定理) 在闭区间 上连续的函数有界且一定有最大值和最小值. a b 2 1 x y o y = f (x) ( ) ( ). ( ) ( ), [ , ], , [ , ], ( ) [ , ], 2 1 1 2 f f x f f x x a b a b f x C a b 有 使得 则 若 注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立; 2.若区间内有间断点, 定理不一定成立
例如，函数J=tonx 在开区间(-号3) 内是连续的，但L它在开区间内既无最大值也无最小值：22又如,函数-x+1. 0≤x<lf(x)=1 , x=l-x+3, 1<x≤2yy= f(x)在闭区间[0,2]上有间断点x=1，这1函数f(x)在闭区间[0,2]虽然有界;....但是既无最大值也无最小值x012C微积分经济数学
x y o y = f (x) 1 2 1 例如，函数 y tan x = 在开区间 2 2 , − 内是连续的，但 它在开区间 2 2 , − 内既无最大值也无最小值； 在闭区间0 2, 上有间断点 x = 1，这 函数 f x( )在闭区间0 2, 虽然有界， 但是既无最大值也无最小值. 又如,函数
二、零点定理与介值定理定义：如果 x。使 f(x)=0，则 x。称为函数f(x)的零点.设函数f(x)在闭区间[a,b]上定理2（零点定理）连续，且f(a)与f(b)异号(即f(a)·f(b)<0),那末在开区间(a,b)内至少有函数f(x)的一个零点，即至少有一点(a<<b)，使f()=0.即方程,f(x)=0在(a,b)内至少存在一个实根.经济数学微积分
二、零点定理与介值定理 定 理 2(零点定理) 设函数 f (x)在闭区间 a,b 上 连续，且 f (a)与 f (b)异 号(即 f (a) f (b) 0) ,那 末 在开区间(a,b)内至少有函数 f (x)的一个零点,即 至 少有一点(a b)， 使 f () = 0. 定义: . ( 0 0 0 , ( ) ) 0 的零点 如果 使 则 称为函数 f x x f x = x 即方程 f (x) = 0在(a,b)内至少存在一个实根