第四节极限运算法则经济数学微积分
第四节 极限运算法则
一、极限运算法则定理设 lim f(x) = A,lim g(x) = B,则(1)lim[f(x)± g(x)l= A± B;(2)lim[f(x)· g(x)]= A · B;f(x)Alim其中B±0.(3)Bg(x)证 : lim f(x)= A, limg(x) = B.: f(x)=A+α, g(x)=B+β. 其中α→0,β→0.由无穷小运算法则,得经济数学微积分
一、极限运算法则 定理 , 0. ( ) ( ) (3) lim (2) lim[ ( ) ( )] ; (1) lim[ ( ) ( )] ; lim ( ) ,lim ( ) , = = = = = B B A g x f x f x g x A B f x g x A B f x A g x B 其中 设 则 证 lim f (x) = A, lim g(x) = B. f (x) = A + , g(x) = B + . 其中 → 0, → 0. 由无穷小运算法则,得
[f(x)±g(x)]-(A± B) =α±β →0. ::. (1)成立[f(x)· g(x)]-(A·B) =(A+α)(B+β)- AB. (2)成立.=(Aβ+Bα)+αβ →0ABα- Aβf(x)A_A+αBg(x)BB+βB(B +β): Bα- Aβ → 0.又：β→0,B0,8>0,当0<x-x<时B- [B=(B]，:B+β≥B|-Iβ >Bβ2C经济数学微积分
[ f (x) g(x)]− (A B) = → 0. (1)成立. [ f (x) g(x)]− (A B) = (A+ )(B + ) − AB = (A + B) + → 0. (2)成立. B A g x f x − ( ) ( ) B A B A − + + = ( + ) − = B B B A B − A → 0. 又 → 0,B 0, 0, 0 , 当 x − x0 时 , 2 B B + B − B B 2 1 − B 2 1 =
21B2,故:. B(B +β)>二有界,B22B(B +β): (3)成立.推论1如果limf(x)存在,而c为常数,则lim[cf(x)] = clim f(x)常数因子可以提到极限记号外面，推论2如果limf(x)存在,而n是正整数,则lim[f(x)]" =[lim f(x)]"经济数学微积分
推论1 lim[ ( )] lim ( ). lim ( ) , , cf x c f x f x c = 如果 存在 而 为常数 则 常数因子可以提到极限记号外面. lim[ ( )] [lim ( )] . lim ( ) , , n n f x f x f x n = 推论2 如果 存在 而 是正整数 则 , 2 1 ( ) 2 B B + B , 2 ( ) 1 2 B B B + 故 有界， (3)成立
二、求极限方法举例x3-1例1 求 limlim x? - 3x +5'2 - lim3x + lim5解 lim(x2 -3x +5) = limx2x-→2x-→2x-→2x-2= (lim x)2 - 3lim x + lim5x-→2x-→2x-→2=22-3.2+5=3±0,lim x3 _ lim1x3-12379x→2x-→2. limx-2x2-3x+533lim(x2 - 3x + 5)x-→2C经济数学微积分
二、求极限方法举例 例1 . 3 5 1 lim 2 3 2 − + − → x x x x 求 解 lim( 3 5) 2 2 − + → x x x lim lim3 lim5 2 2 2 →2 → → = − + x x x x x (lim ) 3lim lim5 2 2 2 →2 → → = − + x x x x x 2 3 2 5 2 = − + = 3 0, 3 5 1 lim 2 3 2 − + − → x x x x lim( 3 5) lim lim1 2 2 2 3 2 − + − = → → → x x x x x x . 3 7 = 3 2 1 3 − =