第一节中值定理罗尔定理「i拉格朗日中值定理一三、柯西中值定理四、小结思考题经济数学微积分
一、罗尔定理 二、拉格朗日中值定理 四、小结 思考题 三、柯西中值定理 第一节 中值定理
一、罗尔(Rolle)定理罗尔（Rolle）定理如果函数fx）在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导且在区间端点的函数值相等，即f(a)=f(b)，那末在(a,b)内至少有一点(a<<b)，使得函数f(x)在该点的导数等于零即f()=0例如, f(x)= x2-2x-3 =(x-3)(x+1)在[-1,3]上连续，在(-1,3)上可导， 且f(-1)=f(3)=0,f'()= 0.: f'(x) = 2(x-1),取 =1, (1E(-1,3)经济数学微积分
一、罗尔(Rolle)定理 罗尔（Rolle）定理 如果函数 f (x)在闭区间 [a,b]上连续,在开区间(a,b) 内可导,且在区 间端点的函数值相等，即 f (a) = f (b),那末在 (a,b) 内至少有一点 (a b) ,使得函数 f (x)在该点的导数等于零， 即 ( ) 0 ' f = (1) (2) (3) 例如, ( ) 2 3 2 f x = x − x − = (x − 3)(x + 1). 在[−1,3]上连续, 在(−1,3)上可导, 且 f (−1) = f (3) = 0, 取 = 1, (1(−1,3)) f () = 0. f (x) = 2(x −1)
y几何解释：Cy= f(x)BA在曲线弧AB上至少有一点C,在该点处的切线是水平的30axS, b物理解释：变速直线运动在折返点处，瞬时速度等于零.点击图片任意处播放暂停经济数学微积分
点击图片任意处播放\暂停 物理解释: 变速直线运动在 折返点处, 瞬时速度 等于零. 几何解释: a 1 2 b x y o y = f (x) . , 的切线是水平的 少有一点 在该点处 在曲线弧 上至 C AB C A B
证：f(x)在[a,b]连续，必有最大值M和最小值m(1) 若 M = m.则 f(x)= M.由此得 f'(x)=0. VE(a,b),都有 f'()=0.(2)若M ±m: f(a)= f(b),：最值不可能同时在端点取得设 M ± f(a),则在(a,b)内至少存在一点专使 f()= M.: f(+Ax)≤ f(E),:. f(+△x) - f()≤0,福微积分经济数学
证 (1) 若 M = m. f (x) 在[a,b]连续, 必有最大值 M 和最小值 m. 则 f (x) = M. 由此得 f (x) = 0. (a,b), 都有 f () = 0. (2) 若 M m. f (a) = f (b), 最值不可能同时在端点取得. 设 M f (a), 则在 (a,b)内至少存在一点 使 f ( ) = M. f ( + x) f (), f ( + x) − f () 0
f(+ Ax)- f()若△x >0,则有≤0;1Arf(+△x)- f(E)若 △r<0，则有≥ 0;Axf(+ △x) - f(E)≥ 0;:. f'() = limArAr→-0f(+ △x) - f(E)≤0;limf*()=ArAx-→+0:f'()存在,: f'() = f(): 只有 f()= 0馆经济数学微积分
若 x 0, 0; ( ) ( ) + − x f x f 则有 若 x 0, 0; ( ) ( ) + − x f x f 则有 0; ( ) ( ) ( ) lim 0 + − = →− − x f x f f x 0; ( ) ( ) ( ) lim 0 + − = →+ + x f x f f x f ()存在, () = (). − + f f 只有 f () = 0