例1.用Gauss公式计算 (x-y)dxdy+(y-z)xdydz 其中∑为柱面x2+y2=1及平面z=0,z=3所围空间 闭域2的整个边界曲面的外侧 解：这里P=(y-z)x,Q=0,R=x-y 利用Gauss公式，得 原式=川y-z)dxdydz(用柱坐标) (rsin-=)rdrdodz -dordsino-2)d=-9 元 思考：若∑改为内侧，结果有何变化？ 若∑为圆柱侧面（取外侧），如何计算？
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例1. 用Gauss 公式计算 其中 为柱面 闭域 的整个边界曲面的外侧. 解: 这里 利用Gauss 公式, 得 原式 = ( y − z)d x d y d z = (rsin − z)r dr d d z (用柱坐标) d rd r (rsin z) dz 3 0 1 0 2 0 = − 2 9 = − x 3 o z 1 y P = ( y − z)x, Q = 0, R = x − y 及平面 z = 0 , z = 3 所围空间 思考: 若 改为内侧, 结果有何变化? 若 为圆柱侧面(取外侧) , 如何计算?
山东农业 本 例2.利用Gauss公式计算积分 I=八，(r2cosa+y2cosB+z2cosy)dS 其中∑为锥面x2+y2=22介于：=0及 z=h之间部分的下侧 解：作辅助面 ∑1：z=h,(x,y)∈Dxy:x2+y2≤h2,取上侧 记∑，∑1所围区域为2，则 在21上a=B=,y=0 I=(2+八5r2cosx+y2cosB+z2cos7)ds =2jx+y+z)dxdydz-∬。h2dxdy
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例2. 利用Gauss 公式计算积分 其中 为锥面 2 2 2 x + y = z h o z y 解: 作辅助面 x : , 1 z = h ( , ) : , 2 2 2 x y D x y h xy + 取上侧 + = 1 I ( − 1 )(x cos y cos z cos )d S 2 2 2 + + , 0 2 1 = = = 在 上 介于 z = 0 及 z = h 之间部分的下侧. 1 记, 1 h 所围区域为, 则 = 2 (x + y + z)d x d y d z h x y Dx y d d 2 −