教学基本 指 标 教学课题第八章第二节数量积向量积混合积 课的类型新授课 教学重点数量积、向量积的定义与运算性质，两向量的垂直 教学难点向量积 与平行，求三角形的面积 参考教材同济大学数学系编《高等数学)（第七版） 作业布置课后习题 教学要求1.掌握数量积和向量积的定义和运算规律： 2.会用数量积和向量积处理一些几何问题。 教 学基 本 内 容 一、基本概念与运算性质： 1.数量积给定向量ā与石，我们做这样的运算：同与及它们的夹角与9的余弦的乘积，称为 向量a与万的数量积（或称内积、点积）.记为a-万，即 a-6=acosa=eos(恨万(0≤a<) (1)a-B=aPrib=BPrja: 2)aa=lcs(很.a= (3)若d≠0，园≠0，则a-i=0台a1i 2.向量积若由向量ā与所确定的一个向量c满足下列条件 (1)c的方向既垂直于ā又垂直于b,c的指向按右手规则从ā转向b来确定 (2)c的模1c曰ab|sin0,(其中0为a与b的夹角)， 侧称向量为向量ā与b的向量积（或称外积、叉积），记为c=石×b axB=abk-ab.j-ab,k+abi+a.b.j-a.bi =(a,b.-a.b,)i-(a.b.-a.b.)j+(a.b,-a,b.)k b,b,b. 3.向量的混合积
1 教 学 基 本 指 标 教学课题 第八章 第二节 数量积 向量积 混合积 课的类型 新授课 教学重点 数量积、向量积的定义与运算性质，两向量的垂直 与平行，求三角形的面积 教学难点 向量积 参考教材 同济大学数学系编《高等数学》(第七版) 作业布置 课后习题 教学要求 1.掌握数量积和向量积的定义和运算规律； 2.会用数量积和向量积处理一些几何问题。 教 学 基 本 内 容 一、基本概念与运算性质： 1. 数量积 给定向量 a 与b ，我们做这样的运算： a 与 b 及它们的夹角与θ 的余弦的乘积，称为 向量 a 与b 的数量积(或称内积、点积).记为 a b⋅ ，即 a b ab ab ab ⋅= = cos cos , α (0 ≤ < α π). （1） Pr j Pr j a b ab a b b a ⋅= = ； （2） 2 aa aa aa a ⋅ = cos , = ； （3）若 a ≠ 0 ， b ≠ 0 ，则 ab a b ⋅=⇔ ⊥ 0 . 2. 向量积 若由向量 a 与b 所确定的一个向量c 满足下列条件： （1）c 的方向既垂直于 a 又垂直于b , c 的指向按右手规则从 a 转向b 来确定 （2）c 的模 | c | | a || b |sinθ = ，(其中θ 为 a 与b 的夹角)， 则称向量c 为向量 a 与b 的向量积（或称外积、叉积），记为 c a b = × . xy xz yx yz zx zy a b abk ab j abk abi ab j abi ×= − − + + − =− −− +− (ab ab i ab ab j ab ab k yz zy xz zx xy yx ) ( ) ( ) ( 1) y z x z x y xyz y z x z x y xyz i jk a a a a a a i j kaa a b b b b b b bbb = +− + = 3. 向量的混合积
定义设三向量a,万，c,先作向量积axi,再作数量积(ax)c,记[abd],称为三个 向量a,b,c的混合积 a=(a,.a,.a.)=ai+a,j+a.k,B=(b.bb.)=bi+b,j+b.k, c=(cs.cn.c.)=ci+c,j+ek. c,c. a,a,a.b b,b. =bb b.=cx Cy C: c.c,c.a,a,a. 二、应用 1.判定两个向量平行 2.判定两个向量垂直 3.求三角形的面积
2 定义 设三向量 a ，b ，c ，先作向量积 a b × ，再作数量积(abc × ⋅) ，记 abc ，称为三个 向量 a ，b ，c 的混合积. 设 a a a a ai a j ak = =+ + ( xyz x y z , , ) ，b b b b bi b j bk = =+ + ( xyz x y z , , ) ， c c c c ci c j ck = =+ + ( xyz x y z , , ) ， ( ) ( 1) xyz y z x z x y x y z xyz y z x z x y xyz ccc a a a a a a abc c c c a a a b b b b b b bbb × ⋅ = +− + = xyz xyz xyz xyz xyz xyz aaa bbb bbb ccc ccc aaa = = ， 二、应用 1. 判定两个向量平行 2. 判定两个向量垂直 3. 求三角形的面积