21 +,uu= CT 2u-2 uu-2u-1 In(u-1)-n(u-2)-Inu=Inx+InC, =Cx ulu 微分方程的解为(y-x)2=C1(y-2x) 上页
ln ln ln , 21 ln( 2) 23 ln(u − 1) − u − − u = x + C . ( 2) 1 2 3 Cx u u u = − − 微分方程的解为 ( ) ( 2 ) . 2 3 y − x = Cy y − x ] , 1 1 2 2 ) 1 2 1 ( 21[ xdx du u u u u = − + − − − −
例3抛物线的光学性质 实例:车灯的反射镜面—旋转抛物面 解如图设旋转轴轴y 生光源在(001 王设Mx为L上任一点,M R MT为切线,斜率为y, x N MN为法线,斜率为-, L ∠OMN=∠MMR, 上页
例3 抛物线的光学性质 实例: 车灯的反射镜面------旋转抛物面 解 如图 设旋转轴 ox轴 光源在(0,0), L : y = y(x) x y o M T N R L 设M(x, y)为L上任一点， MT为切线, 斜率为 y′, , 1 , y MN ′ 为法线 斜率为 − Q ∠ OMN = ∠ NMR
∴tan∠OMN=tan∠NMR, 由夹 R tan∠OMN= M 角正 y N x切 xy 式得 L tan∠NMR= 得微分方程 my2+2xy-y=0,即yy/×1 上页
⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ′ ∠ = ′ − − ′ − ∠ = y NMR xy y x y y OMN 1 tan 1 1 tan 2 0 , 2 yy′ + xy′ − y = 得微分方程 ( ) 1. 2 ′ = − ± + y x y x 即 y ∴ tan ∠ OMN = tan ∠ NMR , 由夹 角正 切公 式得 x y o M T N R L
-1±√1+u 平令n=,得u+xa= L udu d 分离变量 (1+l2)1+p tdt dx 令1+2=t,t1)x 积分得m±1=10,即n2/C C 上页
令 ， x y u = , 1 1 2 u u dx du u x − ± + 得 + = 分离变量 , (1 ) 1 2 2 xdx u u udu = − + ± + 令 1+ u2 = t 2， , ( 1) x dx t t tdt = − ± 积分得 ln 1 ln , x C t ± = 1 1, 2 + = ± x C 即 u
C 2C 平方化简得n2=,+ xx C。抛物线 代l y 回u=二 得y2=2C(x+ 2 所求旋转轴为ax轴的旋转抛物面方程为 C +z2=C(x+ 上页
平方化简得 , 2 22 2 xC xC u = + 代回 , 得 x y u = ) 2 2 ( 2 C y = C x + 抛物线 所求旋转轴为 ox轴的旋转抛物面方程为 ). 2 2 ( 2 2 C y + z = C x +