江画工太猩院 第七节 高斯公式通量与散度
江西理工大学理学院 第七节 高斯公式通量与散度
江西理工大学理学院 、高斯公式 设空间闭区域Ω由分片光滑的闭曲面Σ围成, 函数P(x,y,)(x,y,)、R(x,y,)在上具有 一阶连续偏导数,则有公式 OP 00 OR = Prdydz-+ dzdx Ridxd ∑ P00R 或d Ω =(Pcosa+ cosp+ Rcosy)ds
江西理工大学理学院 设空间闭区域Ω由分片光滑的闭曲面Σ围成, 函数P(x, y,z)、Q(x, y,z)、R(x, y,z)在Ω上具有 一阶连续偏导数, 则有公式 ∫∫∫ ∫∫ Ω ∑ = + + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ dv Pdydz Qdzdx Rdxdy z R y Q x P ( ) 一、高 斯 公 式 P Q R dS dv z R y Q x P ( cos cos cos ) ( ) ∫∫ ∫∫∫ ∑ Ω = α + β + γ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ 或
江画工太猩院 这里∑是9的整个边界曲面的外侧, cosa. cos B,c0sy是∑上点(x,y,z)处的法向 量的方向余弦 证明设闭区域身在面xOy 上的投影区域为D Q ∑由∑,∑和∑3三部分组成, =1(x y) 0 ∑,孔=32(X, y) ∑3为柱面上的一部分
江西理工大学理学院 这里∑是Ω的整个边界曲面的外侧， cosα,cos β ,cosγ 是∑上点( x, y,z)处的法向 量的方向余弦. 证明 设闭区域Ω在面xoy 上的投影区域为Dxy. x y z o Σ由Σ1 ,Σ2和Σ3三部分组成, ( , ) 1 : 1 Σ z = z x y ( , ) 2 : 2 Σ z = z x y Ω Σ1 Σ2 Σ3 Dxy Σ3为柱面上的一部分．
江画工太猩院 这里x1(xy)≤z2(x,y),Σ取下侧,∑2取上侧, ∑3取外侧 根据三重积分的计算法 OR T2(x,,)aR 小hv dz yaxdy i(x, y) Q =』x,(,-刚x,x(x,小 D 根据曲面积分的计算法 JR(x, 2)dxdy=-R)x, ,i,(x, )dxdy
江西理工大学理学院 根据三重积分的计算法 dz dxdy z R dv z R Dxy z x y ∫∫∫ ∫∫ ∫z x y Ω ∂ ∂ = ∂ ∂ { } ( , ) ( , ) 2 1 { [ , , ( , )] [ , , ( , )]} . = ∫∫ 2 − 1 Dxy R x y z x y R x y z x y dxdy 根据曲面积分的计算法 ( , , ) [ , , ( , )] , 1 1 ∫∫ ∫∫ = − Σ Dxy R x y z dxdy R x y z x y dxdy 这里 ( , ) ( , ) 1 2 z x y ≤ z x y ， Σ 1取下侧, Σ 2取上侧, Σ 3取外侧．
江画工太猩院 ∫ R(x, y, ) dxdy=-x,(xy)d, ∑ R(x,y,z)=0. 于是』R(x,3d ∑ ∫(x,xx,-刚1x,x(x,) D rOR dv=ir(r,v, z )dxdy Q ∑
江西理工大学理学院 ( , , ) [ , , ( , )] , 2 2 ∫∫ ∫∫ = Σ Dxy R x y z dxdy R x y z x y dxdy { [ , , ( , )] [ , , ( , )]} , = ∫∫ 2 − 1 Dxy R x y z x y R x y z x y dxdy ∫∫ Σ 于是 R ( x , y , z )dxdy ( , , ) 0 . 3 = ∫∫ Σ R x y z dxdy ( , , ) . ∫∫∫ ∫∫ Ω Σ = ∂ ∂ ∴ dv R x y z dxdy z R