江画工太猩院 第5节 无穷小与无穷大 无穷小比较
江西理工大学理学院 第 5 节 无穷小与无穷大 无穷小比较
江画工太猩院 无穷小 1、定义:极限为零的变量称为无穷小 定义1如果对于任意给定的正数E(不论它多么小) 总存在正数δ(或正数X),使得对于适合不等式 0<x-x<8(或x>X)的一切x,对应的函数值 f(x)都满足不等式∫(x)<E 那末称函数f(x)当x→x0(或x→∞)时为无穷小 记作Iim∫(x)=0(或im∫(x)=0 r→0
江西理工大学理学院 一、无穷小 1、定义: 定义 1 如果对于任意给定的正数 ε(不论它多么小) 总存在正数δ (或正数 X ),使得对于适合不等式 0 < x − x0 < δ (或 x > X )的一切 x ,对应的函数值 f (x)都满足不等式 f (x) < ε, 那末 称函数 f (x)当x → x0(或x → ∞)时为无穷小 记作 lim ( ) 0 ( lim ( ) 0). 0 = = → →∞ f x f x x x x 或 极限为零的变量称为无穷小
江画工太猩院 例如, lim sin x=0,∴函数sinx是当x→Q时的无穷小 r→0 im=0,:函数是当x→∞时的无穷小 x→y x im2=0.;数列(是当n→时的无穷小 n>0 注意(1)无穷小是变量不能与很小的数混淆; (2)零是可以作为无穷小的唯一的数
江西理工大学理学院 例如, limsin 0, 0 = → x x Q ∴函数 sin x是当x → 0时的无穷小 . 0, 1 lim = x→∞ x Q . 1 ∴函数 是当x → ∞时的无穷小 x 0, ( 1) lim = − →∞ n n n Q } . ( 1) 数列{ 是当 → ∞时的无穷小 − ∴ n n n 注意 （1）无穷小是变量,不能与很小的数混淆; （2）零是可以作为无穷小的唯一的数
江画工太猩院 2、无穷小与函数极限的关系: 定理1imf(x)=A台∫(x)=A+0(x x→x0 其中a(x)是当x→x时的无穷小. 证必要性设imf(x)=A,令(x)=f(x)-A, x→x0 则有lima(x)=0,,f(x)=A+a(x) x→x0 充分性设f∫(x)=A+(x), 其中a(x)是当x→x/时的无穷小, A lim f(x)=lim (A+a(x)=A+ lim a(x)=A x→x x→x0 →x
江西理工大学理学院 2、无穷小与函数极限的关系: 证 必要性 lim ( ) , 0 f x A x x = → 设 令 α(x) = f (x) − A, lim ( ) 0, 0 α = → x x x 则有 ∴ f (x) = A + α(x). 充分性 设 f (x) = A + α(x), ( ) , 其中 α x 是当x → x0时的无穷小 lim ( ) lim ( ( )) 0 0 f x A x x x x x = + α → → 则 lim ( ) 0 A x x x = + α → = A. 定理 1 lim ( ) ( ) ( ), 0 f x A f x A x x x = ⇔ = + α → 其中α(x)是当x → x0时的无穷小
江画工太猩院 意义(1)将一般极限问题转化为特殊极限问题 (无穷小; (2)给出了函数∫(x)在x0附近的近似表达 式∫(x)≈A,误差为a(x) 3、无穷小的运算性质: 定理2在同一过程中有限个无穷小的代数和仍是 无穷小 证设a及β是当x→∞时的两个无穷小, NE>0,N1>0,N2>0,使得
江西理工大学理学院 意义（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题 (无穷小); ( ) , ( ). 2 ( ) 0 f x A x f x x 式 误差为α （ ）给出了函数 在 附近的近似表达 ≈ 3、无穷小的运算性质: 定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是 无穷小. 证 设α及β是当 x → ∞时的两个无穷小 , ∀ ε > 0,∃N1 > 0, N2 > 0,使得