江画工太猩院 第五节 二阶常系 非齐次线性方程
江西理工大学理学院 第五节 二阶常系数 非齐次线性方程
工 王一、f(x)=e"m(x)型 工 y"+py+y=f(x)二阶常系数非齐次线性方程 对应齐次方程y"+py+qy=0 通解结构y=Y+y*, 常见类型P(x),P(x)e, P.()e "cos,(x)e sin Bx, 难点:如何求特解?方法:待定系数法 工 上页下页返回
y′′ + py′ + qy = f (x) 二阶常系数非齐次线性方程 对应齐次方程 y′′ + py′ + qy = 0, 通解结构 y = Y + y*, 常见类型 P (x), m ( ) , x mP x eλ P (x)e cos x, x m β λ P (x)e sin x, x m β λ 难点：如何求特解？ 方法：待定系数法. f (x) e P (x) m λx 一、 型 =
设非齐方程特解为卩=Q(x)e“代入原方程 "(x)+(2x+p)g(x)+(x2+p+9Q(x)=Dn(x) (1)若不是特征方程的根,x+p元+q≠0, 可设Q(x)=Q(x),p=Qn(x)ex; (2)若是特征方程的单根, +p+q=0,2+p≠0, 可设Q(x)=xQn(x),y=xQn(x)l"; 上页
设非齐方程特解为 x y Q x eλ = ( ) 代入原方程 ( ) (2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 Q′′ x + λ + p Q′ x + λ + pλ + q Q x = Pm x (1) 若λ不是特征方程的根， 0, 2 λ + pλ + q ≠ Q(x) Q (x), 可设 = m (2) 若λ是特征方程的单根， 0, 2 λ + pλ + q = 2λ + p ≠ 0, Q(x) xQ (x), 可设 = m * ( ) ; x m y Q x eλ = * ( ) ; x m y xQ x eλ =
(3若是特征方程的重根, x+p九+q=0,2+p=0, 可设Q(x)=xQn(x),p=x2Qn(x)l 综上讨论 0不是根 设p=xte'Qn(x),k={1是单根, 2是重根 注意上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性 微分方程(k是重根次数) 上页
( 3 ) 若 λ是特征方程的重根， 0 , 2 λ + p λ + q = 2 λ + p = 0 , ( ) ( ), 2 可设 Q x = x Q m x 综上讨论 y x e Q ( x ) , m k λx 设 = ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ λ λ λ = 是重根 是单根 不是根 2 1 , 0 k 注意 上述结论可推广到 n阶常系数非齐次线性 微分方程（ k是重根次数） . * ( ) . 2 x y x Q m x e λ =
王特别地y+m+=Ac e,不是特征方程的根 n+ph+q A xex是特征方程的单根 2+p Zx e λ是特征方程的重根 上页
特别地 x y py qy Ae λ ′′ + ′ + = ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ + + + = 是特征方程的重根 是特征方程的单根 不是特征方程的根 λ λ λ λ λ λ λ λ λ x x x x e A xe p A e p q A y 2 2 2 , 2