江画工太猩院 第4节 极限存在准则 两个重要极限
江西理工大学理学院 第 4 节 极限存在准则 两个重要极限
江画工太猩院 极限存在准则 1夹逼准则 准则如果数列x,yn及乙n满足下列条件: O ysx,,(n=1, 2, 3. (2)lim y, =a, liman =a, 1-→0 1→00 那末数列xn的极限存在,且 lim x=a n→0 证∵yn→a,zn→a, ⅤE>0,彐N1>0,N2>0,使得
江西理工大学理学院 一、极限存在准则 1.夹逼准则 准则Ⅰ 如果数列 n n x , y 及 n z 满足下列条件: ( 2 ) lim , lim , ( 1 ) ( 1 , 2 , 3 ) y a z a y x z n n n n n n n n = = ≤ ≤ = → ∞ → ∞ L 那末数列 n x 的极限存在, 且 x n a n = → ∞ lim . 证 y a , z a , Q n → n → ∀ ε > 0 , ∃ N 1 > 0 , N 2 > 0 , 使得
江画工太猩院 当n>N时恒有n-a<6 当n>N时恒有zn-a<, 取N=max{N1,N2,上两式同时成立, 即a-ε<yn<a+E,a-8<n<a+8, 当n>M时,恒有a-E<yn≤xn≤zn<a+, 即xn-a<E成立, limx =a 1→0 上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限
江西理工大学理学院 , 1 n > N y − a < ε 当 时恒有 n max{ , }, 取 N = N1 N2 当 n > N时, 恒有 a − ε < y < a + ε, 即 n , 2 n > N z − a < ε 当 时恒有 n a − ε < z < a + ε, n 上两式同时成立, a − ε < y ≤ x ≤ z < a + ε , n n n 即 x − a < ε 成立, n lim x a. n n ∴ = →∞ 上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限
江画工太猩院 准则′如果当x∈U(xn0)(或x>M时有 (1)g(x)≤∫(x)≤l(x), (2 )lim gx)=A, lim h(x)=A x→x0 x→x0 (x→00) (x→∞) 那末im∫(x)存在,且等于A. x→xo (x→∞) 准则邮和准则称为夹逼准则. 注意:利用夹逼准则求极限关键是构造出yn与zn, 并且yn与zn的极限是容易求的
江西理工大学理学院 准则Ⅰ′ 如果当 ( , ) 0 0 x ∈U x δ (或 x > M )时,有 (2) lim ( ) , lim ( ) , (1) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) 0 0 g x A h x A g x f x h x x x x x x x = = ≤ ≤ →∞ → →∞ → 那末 lim ( ) ( ) 0 f x x x x →∞ → 存在, 且等于A. 注意: . , 并且 与 的极限是容易求的 利用夹逼准则求极限关键是构造出 与 n n n n y z y z 准则 ,和准则 ,'称为夹逼准则
江画工太猩院 例1求lm( n→0 n2+1√n2+2 n+1 n 解 n2+n√n2+1 n2+n√n2+1 n 又lim lim n→0 √n-+n n→0 1+ m lim =1,由夹逼定理得 n→0√n2+1n-0 1+ n im(,,+ ∴ )=1. nl→0 n2+1n2+2 √n-+n
江西理工大学理学院 例1 ). 1 2 1 1 1 lim ( 2 2 2 n n n n + n + + + + → ∞ + 求 L 解 , 1 1 1 1 2 2 2 2 + < + + + + < + n n n n n n n n Q L n n n n n n 1 1 1 lim 2 lim + = → ∞ + → ∞ 又 = 1 , 2 2 1 1 1 lim 1 lim n n n n n + = → ∞ + → ∞ = 1 , 由夹逼定理得 ) 1. 1 2 1 1 1 lim ( 2 2 2 = + + + + + n → ∞ n + n n n L