江画工太猩院 第三节 全微分方程 可降阶高阶方程
江西理工大学理学院 第三节 全微分方程 可降阶高阶方程
江西理工大学理学院 、全微分方程及其求法 1.定义:若有全微分形式 dxy)=p(xy)dx+(y)y全微分方程 则P(x,ydx+(x,ydy=0 或恰当方程 例如xdx+ydy=0,u(x,y)x2+y2), ∴du(x,y)=xdx+ydy,所以是全微分方程. P00 全微分方程 dy ax
江西理工大学理学院 一、全微分方程及其求法 1.定义: 则 P ( x , y )dx + Q ( x , y ) dy = 0 du( x, y ) = P( x, y )dx + Q( x, y )dy 若有全微分形式 例如 xdx + ydy = 0 , ( ), 2 1 ( , ) 2 2 Q u x y = x + y 全微分方程 或恰当方程 ∴du ( x , y ) = xdx + y dy , 所以是全微分方程 . . x Q y P ∂ ∂ = ∂ ∂ 全微分方程 ⇔
江画工太猩院 2解法: P(x,y)x+Q(x,y)y=0全微分方程 ap 00 0应用曲线积分与路径无关.∵ 通解为以(x,y)=P(x,)x+」x,y ∫(x)+」P(x,)x,(x,y)=C e用直接凑全微分的方法
江西理工大学理学院 2.解法: P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 n应用曲线积分与路径无关. xQ yP ∂∂ = ∂∂ Q 通解为 ∫ ∫ = + yy xx u x y P x y d x Q x y dy 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) 0 ( , ) ( , ) , 0 0 0 Q x y dy P x y dx x x y ∫y ∫ = + u(x, y) = C ; o 用直接凑全微分的方法. 全微分方程
江画工太猩院 例1求方程(x3-3xy2)+(y23-3x2y)dy=0 的通解 解0P。0Q aP y ax 是全微分方程, u(x, v)=(x-3xy)dx+ydy x 3 22 r y+ 2x 3, 原方程的通解为 4xyt=c
江西理工大学理学院 . ( 3 ) ( 3 ) 0 3 2 3 2 的通解 求方程 x − xy dx + y − x y dy = 解 6 , x Q xy y P ∂ ∂ = − = ∂ ∂ 是全微分方程, ∫ ∫ = − + x y u x y x xy d x y dy 0 3 0 3 2 ( , ) ( 3 ) . 2 4 3 4 4 2 2 4 C y x y x 原方程的通解为 − + = , 2 4 3 4 4 2 2 4 y x y x = − + 例1
江画工太猩院 2x 3x 例2求方程"db+ φ=0通解 ap 6x 00 解 Oy y ax 是全微分方程, 将左端重新组合d+( 3x 1 x' =d(-3)+d(3)=l(-+3), 2 原方程的通解为--+"3=C
江西理工大学理学院 0 . 2 3 4 2 2 求方程 3 = 的通解 − + dy y y x dx y x 解 , 6 4 x Q y x y P ∂ ∂ = − = ∂ ∂ 是全微分方程 , 将左端重新组合 ) 2 3 ( 1 4 2 2 3 dy y x dx y x dy y + − ) ( ) 1 ( 3 2 y x d y = d − + . 1 3 2 C y x y 原方程的通解为 − + = ), 1 ( 3 2 y x y = d − + 例 2