江画工太猩院 第二节 正项級数审敛法
江西理工大学理学院 第二节 正项级数审敛法
江画工太猩院 、正项级数及其审敛法 1定义:如果级数∑中各项均有n20, 这种级数称为正项级数 定义:正项和负项任意出现的级数称为任意项级数 2正项级数收敛的充要条件:S1≤2≤…SSn≤… 部分和数列{Sn为单调增加数列 定理 正项级数收敛部分和所成的数列s有界
江西理工大学理学院 一、正项级数及其审敛法 1.定义: 如果级数 中各项均有 0， 1 ∑ ≥ ∞ = n n u n u 这种级数称为正项级数. 2.正项级数收敛的充要条件: s 1 ≤ s 2 ≤ L ≤ s n ≤ L 定理 正项级数收敛 部分和所成的数列 有界 . n ⇔ s 部分和数列 为单调增加数列. { } n s 定义:正项和负项任意出现的级数称为任意项级数
江画工太猩院 3比较审敛法设∑n和∑"均为正项级数, -nel nel 且nsn(n=12,若∑"收敛,则∑4收敛 1-=1 反之,若∑n发散,则∑"发散 1E 证明()设σ=∑n∵nsn, n-=1 且sn=1+2+…+mn≤V+2+…+"n≤0, 即部分和数列有界∑收鲛
江西理工大学理学院 且u ≤ v (n = 1,2,L) n n ,若∑ ∞ n=1 n v 收敛,则∑ ∞ n=1 un收敛； 反之，若∑ ∞ n=1 un发散，则∑ ∞ n=1 n v 发散. 证明 n u u un 且s = 1 + 2 +L+ ∑ ∞ = σ = 1 (1) n n 设 v , n n Qu ≤ v ≤ σ, 即部分和数列有界 . 1 ∑ 收敛 ∞ = ∴ n un 设∑ 和∑ 均为正项级数， ∞ = ∞ =1 n 1 n n n 3.比较审敛法 u v n ≤ v + v +L+ v 1 2
江画工太猩院 (2)设Sn→>(m→∞)且un≤Vn, 则Gn≥Sn→不是有界数列 ∑v发散.定理证毕 n-=1 推论:若∑Ln收敛(发散) 且nskn2 N)( s").则∑收敛(发散) h= 比较审敛法的不便:须有参考级数
江西理工大学理学院 n n 则σ ≥ s (2) s → ∞ (n → ∞) 设 n , n n 且 u ≤ v → ∞ 不是有界数列 . 1 ∑ 发散 ∞ = ∴ n n v 推论: 若∑ ∞ n=1 un 收敛(发散) 且 ( )( ) n n n n v ≤ ku n ≥ N ku ≤ v , 则∑ ∞ n=1 n v 收敛(发散). 定理证毕. 比较审敛法的不便: 须有参考级数
江画猩工式塑辱院 例1讨论P级数 1+—-+—-+—+…+ 的收敛性(P>0) 23″4 解设ns,:11 则P-级数发散. nn 设p>L由图可知1 n x y==(P> =1+-+-+… n d x x <1+ +… x
江西理工大学理学院 例 1 讨论 P-级数 + p + p + p + L + p + L n 1 4 1 3 1 2 1 1 的收敛性. ( p > 0 ) 解 设 p ≤ 1 , , 1 1 n n p Q ≥ 则 P −级数发散 . 设 p > 1 , o y x ( 1 ) 1 = p > x y p 1 2 3 4 由图可知 ∫ − < n n p p x dx n 1 1 n p p p n s 1 3 1 2 1 = 1 + + + L + ∫ ∫ − ≤ + + + n n p p x dx x dx 1 2 1 1 L