江画工太猩院 第二节 齐次方程 一阶线性方程
江西理工大学理学院 第二节 齐次方程 一阶线性方程
一、齐次方程 工 1.定义形如=f()的微分方程称为齐次方程 2.解法作变量代换u=,即y=xu, dy du =u+x dx dx 代入原式u+x=f(u) dx 可分离变量的方程 dx x 工 上页下页返回
一、齐次方程 ( ) x y f dxdy 形如 = 的微分方程称为齐次方程. 2.解法 , x y 作变量代换 u = 即 y = x u , 代入原式 , dx du u x dx dy ∴ = + f ( u), dxdu u + x = . ( ) x f u u dx du − 即 = 可分离变量的方程 1.定义
当∫(a)-u≠=0时,得∫ InC f(u)=u 即r=c(,(g(a)fd f(u-u M将u=代入,得通解x=Ce, 当彐an,使f(an)-n=0,则a=u是新方程的解, 代回原方程,得齐次方程的解y=x 上页
当 f (u) − u ≠ 0时, ln , ( ) 1 C x f u u du = − 得 ∫ , (u) x Ceϕ 即 = ∫ − （ = ） f u u du u ( ) ϕ( ) 将 代入, x y u = , ( ) xy x Ceϕ 得通解 = , 当∃u0 ( ) 0, 使 f u0 − u0 = , 则 u = u0是新方程的解 代回原方程 , . 得齐次方程的解 y = u0 x
例求解微分方程 (x-ycos)dx+xcos-dy=0 解令m=),则小 =xdutudr (r-ux cos u dx+x u(udx+xdu)=0, sinu==lnx+c 微分方程的解为sin=-lnx+C. 上页
例1 求解微分方程 ( − cos ) + cos dy = 0. x y dx x x y x y 令 ， x y u = 则 dy = xdu + udx， (x − uxcosu)dx + xcosu(udx + xdu) = 0, cos , x dx udu = − sinu = −ln x + C, sin ln x C. x y 微分方程的解为 = − + 解
d 例2求解微分方程了 xnty y=ry yy 解中 y-ry d x x-xyt y 1-+ xx 令u=),则b=xch+ud, x 2u2-u u+ru= 1-m⊥n2 上页
2 2 2 2 x xy y y xy dx dy − + − = , 1 2 2 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + ⎟ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = x y x y x y x y , x y 令 u = 则 dy = xdu + udx , , 1 2 2 2 u u u u u x u − + − + ′ = . 2 2 2 2 y xy dy x xy y dx − = − + 例2 求解微分方程 解