江画工太猩院 第八节 正猞、佘弦級数 2L为周期的函数 展开成傅立叶级数
江西理工大学理学院 第八节 正弦、余弦级数 2 L为周期的函数 展开成傅立叶级数
江画工太猩院 一、函数展开成正弦级数或余弦级数 非周期函数的周期性开拓 设f(x)定义在0,m上,延拓成以2π为周期的 函数F(x) 「f(x)0≤x≤π 令F(x) 且F(x+2)=F(x) g(x)-π<x<0 则有如下两种情况 ∫奇延拓 偶延拓
江西理工大学理学院 一、函数展开成正弦级数或余弦级数 非周期函数的周期性开拓 ( ). ( ) [ 0 , ] , 2 F x f x 函数 设 定义在 π 上 延拓成以 π为周期的 , ( ) 0 ( ) 0 ( ) ⎩ ⎨ ⎧ − π < < ≤ ≤ π = g x x f x x 令 F x 且 F ( x + 2 π ) = F ( x), 则有如下两种情况 . ⎩ ⎨ ⎧ 偶延拓 奇延拓
江画工太猩院 奇延拓:g(x)=-f(-x) f(x)0<x≤π 则F(x) x=0 ∫(-x)-π<x<0 ∫(x)傅氏正弦级数 ∫(x)分∑ b sin nx(0≤x≤π
江西理工大学理学院 奇延拓: g(x) = − f (− x) ⎪⎩ ⎪⎨⎧ − − − π < < = < ≤ π = ( ) 0 0 0 ( ) 0 ( ) f x x x f x x 则F x x y − π 0 π f (x)的傅氏正弦级数 ↔ ∑ ∞ =1 ( ) sin n f x bn nx (0 ≤ x ≤ π)
江画工太猩院 偶延拓:g(x)=∫(-x) 则F(以=/1 (x)0≤x≤T f(-x)-丌<x<0 ∫(x)的傅氏余弦级数 f(x)+>"0+∑anc0sx(0sxsπ)
江西理工大学理学院 偶延拓: g(x) = f (− x) ⎩⎨⎧ − − π < < ≤ ≤ π = ( ) 0 ( ) 0 ( ) f x x f x x 则F x f (x)的傅氏余弦级数 ↔ + ∑ ∞ =1 0 cos 2 ( ) n an nx a f x (0 ≤ x ≤ π) x y − π 0 π
江画工太猩院 例1将函数∫(x)=x+1(0≤x≤7)分别展开成 正弦级数和余弦级数 解(1)求正弦级数.对f(x进行奇延拓, 2 f(x) sinned=二 x+dsin ndx (1-cosm-c0smπ) 2+2 当n=1,3,, 当n=2,4
江西理工大学理学院 例 1 将函数 f (x) = x + 1 (0 ≤ x ≤ π)分别展开成 正弦级数和余弦级数. 解 (1)求正弦级数. 对f (x)进行奇延拓, ∫ π = π 0 ( )sin 2 b f x nxdx n ∫ + π = π0 ( 1)sin 2 x nxdx (1 cos cos ) 2 − π π − π π = n n n ⎪⎩ ⎪⎨⎧ − = = π + ⋅ π = L L 2,4,6, 2 1,3,5, 2 2 n n n n 当 当