江画工太猩院 第三节 任意项级数审敛法
江西理工大学理学院 第三节 任意项级数审敛法
交错级数及其审剑④企太香鹰 定义:正、负项相问的级数称为交错级数. 0o ∑(-1)"u或∑(-1)"n(其中un>0) n-=1 莱布尼茨定理如果交错级数满足条件 (i)u>u(n=1, 2, 3, (ii)limu =0 n→00 则级数收敛,且其和S≤L,其余项r的绝对值 n=“n+1
江西理工大学理学院 一、交错级数及其审敛法 定义: 正、负项相间的级数称为交错级数. n n n n n n ∑ u ∑ u ∞ = ∞ = − − − 1 1 1 ( 1 ) 或 ( 1 ) 莱布尼茨定理 如果交错级数满足条件: (ⅰ) ( 1 , 2 , 3 , ) u n ≥ u n + 1 n = L ;(ⅱ)lim = 0 → ∞ n n u , 则级数收敛,且其和 u 1 s ≤ ,其余项 nr 的绝对值 n ≤ u n + 1 r . ( > 0 ) 其中 u n
江画工太猩院 证明∵lun1-Un2≥0, ∵S2n=(1-n2)+(l3-u4)+…+(2n1-2n) 数列s2是单调增加的 又S2n=1-(l2-a3)-…-(l2n2-ln1)-ln ≤1数列s2,是有界的, lims,n=ssu. limu2n1 =0, 11→0
江西理工大学理学院 证明 n u u u u n u n u n s2 1 2 3 2 2 2 1 2 又 = − ( − ) −L− ( − − − ) − ( ) ( ) ( ) 2n u1 u2 u3 u4 u2n 1 u2n Qs = − + − +L+ − − ≤ u1 0, Qun−1 − un ≥ lim . 2 u1 s s n n ∴ = ≤ →∞ lim 0, 2 +1 = →∞ n n Q u , 数列 s2n是单调增加的 , 数列 s2n是有界的
江画工太猩院 ims 2n+1 lim(S2n +u2n+d=s 1-→0 级数收敛于和s,且s≤u1 余项rn=士(un1-ln2+…), u+ 11+ 2 满足收敛的两个条件,∴n≤Lm 定理证毕
江西理工大学理学院 lim lim( ) 2 1 2 2 +1 →∞ + →∞ ∴ = n + n n n n s s u = s, , . u1 ∴级数收敛于和 s 且s ≤ ( ), 余项 rn = ± un+1 − un+2 +L , rn = un+1 − un+2 +L 满足收敛的两个条件, . ∴ n ≤ un+1 r 定理证毕
江画工太猩院 例1判别级数∑(-11,的收敛性 n=1 解记nn 因为n n+1 故 nl、n+1 ≥L 212 n+1 n+1 又因为lim li x→+00 2xx→+∞02xIn2 li →00 +00 :li 故原级数收敛
江西理工大学理学院 例 1 判别级数∑ ∞ = − − 1 1 2 ( 1) n n n n 的收敛性. 解 n nn u 2 记 = 2+ 1 ≥ n 因为 n , 2 1 2 +1 ≥ +1 + n = n ≥ n un n n 故 u x x x 2 lim →+∞ 又因为 = 0, 故原级数收敛 . 2 ln 2 1 lim x x→+∞ = 0 2 ∴ lim = lim = →∞ →∞ n n n n n u