江画工太猩院 第六节 扬展开成冪 级数及其应用
江西理工大学理学院 第六节 函数展开成幂 级数及其应用
江画工太猩院 函数展开成幂级数 1.直接法(泰勒级数法) 步骤:(1)求af(x0) (2)讨论imR=0或f"(x)≤M, n-0 则级数在收敛区间内收敛于f(x)
江西理工大学理学院 一、函数展开成幂级数 1.直接法(泰勒级数法) 步骤 : ; ! ( ) ( 1 ) 0 ( ) n f x a n 求 n = ( 2 ) lim 0 ( ) , ( ) R f x M n n n = ≤ → ∞ 讨论 或 则级数在收敛区间内收 敛于 f ( x)
江画工太猩院 例1将f(x)=c2展开成的幂级数 解∫"(x)=e,∫"(0)=1.(n=0,2,) ex<1+x+-x2+…+-xn+ vM>0在M,Mr"x)=erse (n=0,1,2,…) e2=1+x+-x2+…+-xn+ 由于M的任意性,即得 e2=1+x+x2+…+x"+…x∈(∞,+0) 2
江西理工大学理学院 例1 解 将f (x) e 展开成x的幂级数. x = ( ) , (n) x f x = e (0) 1. ( 0,1,2, ) f (n) = n = L x ↔ + + +L+ x n +L n e x x ! 1 2! 1 1 2 ∀M > 0, 在[−M, M]上 n x f (x) = e ( ) M ≤ e (n = 0,1,2,L) ∴ x = + + +L+ x n +L n e x x ! 1 2! 1 1 2 由于M的任意性, 即得 ( , ) !1 2!1 1 2 = + + + + x + x ∈ −∞ +∞ n e x x x L n L
江画工太猩院 例2将f(x)=simx展开成x的幂级数 解∫(x)=sin(x+),f(0)=sin ∴:f2(0)=0,y2+(0)=(-1),(m=0,2, HI(nissin(r+ x )s1x∈(0,+∞) 2n+1 x SIx=x x+—x (-1) 3!5! (2n+1) x∈(-0,+00
江西理工大学理学院 例2 将f ( x) = sin x展开成 x的幂级数 . 解 ), 2 ( ) sin( ( ) π = + n f x x n , 2 (0) sin ( ) π = n f n (0) 0, (2 ) ∴ = n f (0) ( 1) , (2n 1) n f = − + (n = 0,1,2,L) ( ) = ( ) f x 且 n ) 2 sin( π + n x ≤ 1 x ∈(−∞,+∞) L +L + ∴ = − + − + − + (2 1)! ( 1) 5!1 3!1 sin 2 1 3 5 nx x x x x n n x ∈(−∞,+∞)
江画工太猩院 例3将f(x)=(1+x)(a∈R展开成x的幂级数 解∵f"(x)=a(-1)…(a-n+1)1+x) fm(0)=0(a-1)(a-n+1),(n=0,1,2,) 1+r+ 0(-1)2 0(-1)…(-n+1) x"十 2 n n+I a-n =1,∴R=1, n→> n-yoon+
江西理工大学理学院 例3 将f (x) = (1+ x) (α ∈ R)展开成x的幂级数. α 解 ( ) ( 1) ( 1)(1 ) , (n) n f x n x α− Q = α α − L α − + + (0) ( 1) ( 1), ( ) f = α α − α − n + n L (n = 0,1,2,L) L L L + α α − α − + + + α α − + α + n x n n x x ! ( 1) ( 1) 2! ( 1) 1 2 n n n a a 1 lim + →∞ Q 1 lim + − = →∞ n n n α = 1, ∴ R = 1