江画工太猩院 第四节 幂级嶽的概念 及其收敛区间
江西理工大学理学院 第四节 幂级数的概念 及其收敛区间
江画工太猩院 函数项级数的一般概念 1.定义: 设l1(x),l2(x),…,n(x),…是定义在I∈R上的 函数则∑n1(x)=4(x)+2(x)+…+1(x)+ n-=1 称为定义在区间上的(函数项)无穷级数 例如级数∑x"=1+x+x2+…
江西理工大学理学院 一、函数项级数的一般概念 1.定义: 设 u 1 ( x), u 2 ( x), L , u n ( x), L是定义在 I ⊆ R上的 函数,则 ∑ = + + L + + L ∞ = ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 u x u x u x u x n n n 称为定义在区间 I上的(函数项)无穷级数. 1 , 2 0 ∑ = + + + L ∞ = x x x n 例如级数 n
江画工太猩院 2收敛点与收敛域: 如果x∈J数项级数∑u1(x)收敛 n-=1 则称x为级数∑1(x)的收敛点否则称为发散点 函数项级数∑n(x)的所有收敛点的全体称为收鲛域, 所有发散点的全体称为发散域
江西理工大学理学院 2.收敛点与收敛域: 如果 x ∈ I 0 ,数项级数 ∑ ∞ = 1 0 ( ) n n u x 收敛, 则称 x 0为级数 ( ) 1 u x n ∑ n ∞ = 的收敛点, 否则称为发散点. 所有发散点的全体称为发散域. 函数项级数 ( ) 1 u x n ∑ n ∞ = 的所有收敛点的全体称为收敛域
江画工太猩院 3.和函数: 在收敛域上,函数项级数的和是x的函数s(x) 称s(x)为函数项级数的和函数 s(x)=l1(x)+l2(x)+…+un(x)+…(定义域是?) 函数项级数的部分和Sn(x, lim s(x)=s(x) n→00 余项n(x)=S(x)-Sn(x) imr(x)=0(x在收敛域上) n1→0 注意函数项级数在某点x的收敛问题实质上 是数项级数的收敛问题
江西理工大学理学院 lim s (x) s(x) n n = →∞ 函数项级数的部分和 余项 r (x) s(x) s (x) n = − n lim ( ) = 0 (x在收敛域上) →∞ r x n n 注意 函数项级数在某点x的收敛问题,实质上 是数项级数的收敛问题. 3.和函数: s(x) = u1 (x) + u2 (x) +L+ un (x) +L 在收敛域上,函数项级数的和是x的函数s(x), 称s(x)为函数项级数的和函数. (定义域是?) s (x), n
江画工太猩院 例1求级数∑ (-1),1 nn1)的收敛域 解由达朗贝尔判别法 n+1 un(x)n+11+x'1+ (n→∞) 当+x<,→1+x 即x>减或x<-时,原级数绝对收敛
江西理工大学理学院 例 1 求级数 n n n n x ) 1 1 ( ( 1) 1 + − ∑∞= 的收敛域. 解 由达朗贝尔判别法 ( ) ( ) 1 u x u x n n+ n x n + ⋅ + = 1 1 1 ( ) 1 1 → ∞ + → n x 1, 1 1 (1) < + x 当 即 x > 0或x < −2时, 原级数绝对收敛. ⇒ 1+ x > 1