江画工太猩院 第五节 对面积的曲面积分
江西理工大学理学院 第五节 对面积的曲面积分
江画工太猩院 一、概念的引入 实例若曲面∑是光滑的,它的面密度为连 续函数p(x,y,z),求它的质量 1、分割: 将∑任意分成n小块:△S,△S3,…,△Sn9 2、近似: v(5,7h,5)∈△S, D(5;,7;:5;)△S,i=1,2,…,n 3、求和:∑p(5,m,5)△S 4、取极限im∑p(5,71,5;)AS λ→0i=1
江西理工大学理学院 一、概念的引入 若曲面Σ 是光滑的, 它的面密度为连 续函数ρ(x, y,z), 求它的质量. 实例 1、分割： 将∑任意分成n小块 : ∆S ∆S ∆Sn , , , 1 2 L 2、近似： ( , , ) , ∀ ξ i ηi ζ i ∈∆Si ρ(ξ i ,ηi ,ζ i)∆Si ,i = 1,2,L,n 3、求和：∑ = ∆ n i i i i Si 1 ρ(ξ ,η ,ζ ) 4、取极限： ∑ → = ∆ n i i i i Si 1 0 lim ρ(ξ ,η ,ζ ) λ
江画工太猩院 、对面积的曲面积分的定义 1定义设曲面是光滑的,函数f(x,y,x)在∑ 上有界,把Σ分成n小块ΔS(△S同时也表示 第i小块曲面的面积),设点(5,7;5).AS上 任意取定的点作乘积f(5,1,5)AS, 并作和∑f(5,m,9)AS,如果当各小块曲面 的直径的最大值→>0时,这和式的极限存在, 则称此极限为函数f(x,y,x)在曲面∑上对面积 的曲面积分或第一类曲面积分
江西理工大学理学院 二、对面积的曲面积分的定义 设曲面 Σ是光滑的, 函数 f ( x , y , z ) 在 Σ 上有界, 把 Σ分成 n小块 ∆ S i （ ∆ S i同时也表示 第 i小块曲面的面积）,设点 ( , , ) ξ i ηi ζ i 为 ∆ S i 上 任意取定的点,作乘积 ( , , )⋅ i i i f ξ η ζ ∆ S i , 并作和 ∑= ⋅ n i i i i f 1 (ξ ,η , ζ ) ∆ Si , 如果当各小块曲面 的直径的最大值 λ → 0 时, 这和式的极限存在, 则称此极限为函数 f ( x , y , z )在曲面 Σ上对面积 的曲面积分 或第一类曲面积分. 1.定义
江画工太猩院 等价定义:设∑是一光滑曲面, f(x,y,z)是定义在∑上的有界函数, 1、分割:将∑任意分成n小块:4S},AS2,…,ASn 2、作乘积:V(,m1,51)∈AS1,f(5,mn,5;)4S;i=1,2, 3、求和:∑f(5,n,4)AS 4取极限:m∑f(5,m,4A 元→0 如果上述极限存在,则称该极限值为函数f(x,y,z) 在曲面∑上对面积的曲面积分,记为:(x,,xA
江西理工大学理学院 等价定义：设 ∑ 是一光滑曲面 , 1、分割： 将∑任意分成n小块 : ∆S ∆S ∆Sn , , , 1 2 L 2、作乘积：( , , ) , ∀ ξ i ηi ζ i ∈ ∆Si f (ξ i ,ηi ,ζ i )∆Si ,i = 1,2,L,n 3、求和： ∑ = n i i i i Si f 1 (ξ ,η ,ζ )∆ 4、取极限： ∑ = → n i i i i Si f 1 0 lim (ξ ,η ,ζ )∆ λ 如果上述极限存在,则称该极限值为函数 在曲面 ∑上对面积的曲面积分, : ( , , ) . ∫∫ ∑ 记为 f x y z dS f ( x, y,z)是定义在 ∑上的有界函数 , f (x, y,z)
江画工太猩院 即f(x,y,ds=lim∑f(5,n,41)AS -)0 ∑ 其中f(x,y,z叫被积函数,Σ叫积分曲面 2对面积的曲面积分的性质 若∑可分为分片光滑的曲面E及∑2,则 f(r, a ds=ll f(x, y, 2)dS+llf(x, y, z)ds
江西理工大学理学院 即 ∫∫ Σ f (x, y,z)dS i i i n i = ∑ f i ∆S = → lim ( , , ) 1 0 ξ η ζ λ ∫∫ Σ f (x, y,z)dS = ∫∫ ∫∫ Σ Σ + 1 2 f (x, y,z)dS f (x, y,z)dS. 2.对面积的曲面积分的性质 若Σ 可分为分片光滑的曲面 Σ 1及Σ 2 , 则 其中 f (x, y,z)叫被积函数， Σ叫积分曲面