江画工太猩院 第四节 线性方程理论、二阶 常系数齐次线性方程
江西理工大学理学院 第四节 线性方程理论、二阶 常系数齐次线性方程
一、概念的引入 王例;设有一弹簧下挂一重物如果使物体具有一个初 王始速度V共(物体便离开平衡位置并在平衡位置 生附近作上下振动试确定物体的振动规律x= 解受力分析 圭 1恢复力∫=-c; 0 2.阻力R=d d x 上页
一、概念的引入 例:设有一弹簧下挂一重物 ,如果使物体具有一个初 始速度 v 0 ≠ 0 ,物体便离开平衡位置 ,并在平衡位置 附近作上下振动 .试确定物体的振动规律 x = x ( t ). 解 受力分析 1 . 恢复力 f = −cx ; 2 . ; dt dx 阻力 R = − µ x x o
F=mm=这- dx+2n+kx=0物体自由振动的微分方程 d t d t 若受到铅直干扰力F= H sin p 下2b+k2x=hsmm强迫振动的方程 d t du E Lc,+2B+Ou= m sin at d t LC 串联电路的振荡方程 下页
QF = ma, , 2 2 dt dx cx dt d x ∴m = − − µ 2 0 2 2 2 + + k x = dt dx n dt d x 物体自由振动的微分方程 若受到铅直干扰力 F = H sin pt, k x h pt dt dx n dt d x 2 sin 2 2 2 + + = 强迫振动的方程 t LC E u dt du dt d u Lc m c c c 2β ω sinω 2 2 0 2 + + = 串联电路的振荡方程
+P(x)+e(x)y=f(r) 二阶线性微分方程 当∫(x)=0时,二阶线性齐次微分方程 当(x)≠时,二阶线性非齐次微分方程 n阶线性微分方程 y+P(x)y)+…+Pn(x)y+P(x)y=∫(x) 上页
二阶线性微分方程 ( ) ( ) ( ) 2 2 Q x y f x dxdy P x dxd y + + = 当 f (x) = 0时， 二阶线性齐次微分方程 当 f (x) ≠ 0时，二阶线性非齐次微分方程 n阶线性微分方程 ( ) ( ) ( ) ( ). 1 ( 1) 1 ( ) y P x y P x y P x y f x n n n n + + + − ′ + = − L
王二、线性微分方程的解的结构 1二阶齐次方程解的结构 y"+P(x)y+Q(x)y=0(1) 上定理1如果函数y1(x)与2(x)是方程(的两个 解那末y=C1W1+C22也是1)的解.(C1,C2是常 数) 问题:y=C1n1+C22一定是通解吗? 上页
二、线性微分方程的解的结构 1.二阶齐次方程解的结构: 定理 1 如果函数 ( ) y 1 x 与 ( ) y 2 x 是方程(1)的两个 解,那末 1 1 2 2 y = C y + C y 也是(1)的解.（ 1 2 C , C 是常 数） 问题: y = C1 y 1 + C 2 y 2一定是通解吗？ y′′ + P ( x ) y′ + Q ( x ) y = 0 ( 1 )