江画工太猩院 第五节 幂般数的逐算 泰勒般数
江西理工大学理学院 第五节 幂级数的运算 泰勒级数
江画工太猩院 幂级数的运算 1.代数运算性质: 设∑anx和∑bx的收敛半径各为R和R2, H=0 -=0 R=minRu,R, 1)加减法 nx"±∑bx"=∑x.x∈(RR) n-=0 (其中Cn=an±bn)
江西理工大学理学院 一、幂级数的运算 1.代数运算性质: (1) 加减法 ∑ ∑ ∞ = ∞ = ± 0 n 0 n n n n n a x b x . 0 ∑ ∞ = = n n n c x (其中 R = min { R 1 , R 2 } ) n a n b n c = ± x ∈ ( − R , R ) , 1 2 0 0 a x b x R R n n n n n 设 ∑ n 和 ∑ 的收敛半径各为 和 ∞ = ∞ =
江画工太猩院 (2)乘法 Cax)②bx)=∑ex.x∈(-R,R) n=0 n=0 =0 其中Cn=an·bn+a·bn1+…+anb) 2 x 柯 西a1bab1ab2a 乘 积 ·
江西理工大学理学院 (2) 乘法 ( ) ( ) 0 0 ∑ ∑ ∞ = ∞ = ⋅ n n n n n n a x b x . 0 ∑ ∞ = = n n n c x x ∈(− R,R) (其中 ) a0 b a1 b 1 a b0 cn n n n = ⋅ + ⋅ + + ⋅ − L a0b0 a0b1 a0b2 a0b3 a1b0 a1b1 a1b2 a1b3 a2b0 a2b1 a2b2 a2b3 a3b0 a3b1 a3b2 a3b3 L L L L L L L L L 柯 西 乘 积 1 x x2 x3 L
江画工太猩院 3)除法(收敛域内∑bx≠=0) △nx a=∑cx.(相除后的收敛区间比原来 ∑bx 两级数的收敛区间小得多) n1=0 2和函数的分析运算性质: ()幂级数∑a1x"的和函数x)收敛区间 n=0 (-R,R)内连续在端点收敛则在端点单侧连续
江西理工大学理学院 (3) 除法 ∑ ∑ ∞ = ∞ = 0 0 n n n n n n b x a x . 0 ∑ ∞ = = n n n c x ( 0) 0 ∑ ≠ ∞ n= n n 收敛域内 b x (相除后的收敛区间比原来 两级数的收敛区间小得多) 2.和函数的分析运算性质: (1) 幂级数∑ ∞ n=0 n n a x 的和函数s( x)在收敛区间 (−R, R)内连续,在端点收敛,则在端点单侧连续
江画工太猩院 )幂级数∑anx“的和函数x)在收敛区间 1= (-R,R)内可积且对x∈(-R,R)可逐项积分 即sxt= a,x)dx ∑,ac=∑62 n-=0 +1 收敛半径不变)
江西理工大学理学院 (2) 幂级数∑ ∞ n=0 n n a x 的和函数s( x)在收敛区间 (−R, R)内可积,且对∀x ∈ (−R, R)可逐项积分. ∫ ∫ ∑ ∞ = = x n n n x s x dx a x dx 0 0 0 即 ( ) ( ) ∑∫ ∞ = = 0 0 n x n n a x dx . 1 1 0 + ∞ = ∑ + = n n n x na (收敛半径不变)