江画工太猩院 第3节 函数极限 函数极限四则运算
江西理工大学理学院 第 3 节 函数极限 函数极限四则运算
江画工太猩院 、自变量趋向有限值时函数的极限 问题函数y=f(x)在x→x0的过程中对应 函数值∫(x)无限趋近于确定值A. f(x)-4<表示∫(x)-A任意小; 0<x-xn<6表示x→x的过程 -6 xn+δx 点x的去心δ邻域,δ体现x接近x程度
江西理工大学理学院 一、自变量趋向有限值时函数的极限 问题:函数 y = f ( x ) 在 x → x 0的过程中 ,对应 函数值 f ( x )无限趋近于确定值 A. f ( x ) − A < ε 表示 f ( x ) − A 任意小 ; 0 . < x − x 0 < δ 表示 x → x 0的过程 x 0 − δ x 0 + δ x x 0 δ δ , 点 x 0的去心 δ邻域 . δ体现 x接近 x 0程度
江画工太猩院 1、定义: 定义1如果对于任意给定的正数E(不论它多 么小),总存在正数δ,使得对于适合不等式 0<x-x0<6的一切x,对应的函数值f(x)都 满足不等式f(x)-A<8那末常数A就叫函数 f(x)当x→x0时的极限,记作 imf(x)=A或f(x)→A(当x→x) x→x0 "8-8"定义vε>038>0使当0<x-x<。时, 恒有f(x)-A<
江西理工大学理学院 定义 1 如果对于任意给定的正数 ε(不论它多 么小),总存在正数 δ,使得对于适合不等式 0 < x − x 0 < δ 的一切 x,对应的函数值 f ( x )都 满足不等式 f ( x ) − A < ε,那末常数 A就叫函数 f ( x ) 当 0 x → x 时的极限,记作 lim ( ) ( ) ( ) 0 0 f x A f x A x x x x = → → → 或 当 " ε − δ "定义 ( ) . 0 , 0 , 0 , 0 − < ε ∀ ε > ∃ δ > < − < δ f x A x x 恒有 使当 时 1、定义：
江画工太猩院 注意:1函数极限与f(x)在点x是否有定义无关; 2δ与任意给定的正数8有关 ● 2、几何解释: 当x在x1的去心δ邻 y=f(x) Ate 域时,函数y=f(x)A 图形完全落在以直A-g 线y=A为中心线, 6 宽为2的带形区域内.0x-05x+0x 显然找到一个δ后,δ6越小越好
江西理工大学理学院 2、几何解释: y = f (x) A− ε A+ ε A x0 −δ x0 x0 +δ δ δ x y 2 . o , , ( ) 0 宽为 的带形区域内 线 为中心线 图形完全落在以直 域时 函数 当 在 的去心 邻 ε = = δ y A y f x x x 注意：1. ( ) ; 函数极限与 f x 在点x0是否有定义无关 2.δ与任意给定的正数 ε有关. 显然,找到一个δ后,δ越小越好
江画工太猩院 例证明imC=C,C为常数) x→>x0 证任给E>0,任取δ>0,当0<x-x0<8时, ∫(x)-A=C-C=0<成立,mimC=C x→x0 例2证明Iimx=x x→x0 证∵f(x)-A=x-x,任给e>0,取8=8 当0<x-x0<8=8:时, f(4=kx-x1<6成立,mx
江西理工大学理学院 例1 lim , ( ). 0 证明 C C C为常数 x x = → 证 f (x) − A = C − C < ε成立, 任给ε > 0, = 0 lim . 0 C C x x ∴ = → 任取δ > 0, 0 , 当 < x − x0 < δ时 例2 lim . 0 0 x x x x = → 证明 证 ( ) , x A x x0 Q f − = − 任给ε > 0, 取δ = ε, 0 , 当 < x − x0 < δ = ε时 0 f (x) − A = x − x < ε成立, lim . 0 0 x x x x ∴ = →