江画工太猩院 第6节 函数的连续性与间断点
江西理工大学理学院 第 6 节 函数的连续性与间断点
江画工太猩院 一、函数的连续性 1、函数的增量 设函数f(x)在U(x,6纳内有定义,Vx∈U(x0,6) △x=x-x0,称为自变量在点x的增量 Δy=f(x)-f(xo)称为函数∫(x)相应于Δ的增量 y=f(x) y=f(x) △v △ xn+△rx +Ar x
江西理工大学理学院 一、函数的连续性 1、函数的增量 , . ( ) ( , ) , ( , ), 0 0 0 0 称为自变量在点 的增量 设函数 在 内有定义 x x x x f x U x x U x ∆ = − δ ∀ ∈ δ ( ) ( ), ( ) . ∆y = f x − f x 0 称为函数 f x 相应于 ∆x的增量 x y 0 x y 0 x 0 x 0 + ∆x y = f ( x ) ∆x x 0 x 0 + ∆x ∆x ∆y ∆y y = f ( x )
江画工太猩院 2、连续的定义 定义1设函数f(x)在U(xn0)内有定义如 果当自变量的增量Δx趋向于零时,对应的函 数的增量Δ也趋向于零即lim4y=0或 A→0 imf(x0+△x)-f(x0)=0,那末就称函数 △x→0 f(x)在点x连续,x称为f(x)的连续点 ix=x,+Ax, Ay=f(x) - f(x o), △x→0就是x→x,4y→0就是∫(x)→f(x)
江西理工大学理学院 2、连续的定义 定义 1 设函数 f (x)在 ( , ) U x0 δ 内有定义,如 果当自变量的增量∆x趋向于零时,对应的函 数的增量∆y也趋向于零,即lim 0 0 ∆ = ∆ → y x 或 lim[ ( ) ( )] 0 0 0 0 + ∆ − = ∆ → f x x f x x ,那末就称函数 f (x)在点 0 x 连续, 0 x 称为 f (x)的连续点. , 设 x = x0 + ∆x ( ) ( ), x0 ∆y = f x − f 0 , ∆x → 就是 x → x0 0 ( ) ( ). x0 ∆y → 就是 f x → f
江画工太猩院 定义2设函数∫(x)在U(xnD)内有定义,如果 函数f(x)当x→x时的极限存在且等于它在 点x0处的函数值八(x).即im(x)=/(x) 那末就称函数f(x)在点x连续 "!-δ"定义: VB>0,38>0,使当x-xn<8时, 恒有f(x)-f(x)<E
江西理工大学理学院 定义 2 设函数 f (x)在 ( , ) U x0 δ 内有定义,如果 函数 f (x)当 0 x → x 时的极限存在,且等于它在 点 0 x 处的函数值 ( )0 f x ,即 lim ( ) ( )0 0 f x f x x x = → 那末就称函数 f (x)在点 0 x 连续. "ε − δ"定义 : ( ) ( ) . 0, 0, , 0 0 ε ε δ δ − < ∀ > ∃ > − < f x f x x x 恒有 使当 时
江画工太猩院 例1试证函数∫f(x) xsin-,x≠0, x 在x=0 处连续. 证: lim x sin-=0, x→0 又f(0)2=0,limf(x)=∫(0), 由定义2知 函数f(x)在x=0处连续
江西理工大学理学院 例1 . 0 0, 0, , 0, 1 sin ( ) 处连续 试证函数 在 = ⎪⎩ ⎪⎨⎧ = ≠ = x x x x x f x 证 0, 1 lim sin 0 = → x x x Q 又 f (0) = 0, 由定义2知 函数 f (x)在 x = 0处连续. lim ( ) (0), 0 f x f x = →