1931 矩阵论 主讲教师：徐乐 2014年10月29日星期三
2014年10月29日星期三 矩 阵 论 主讲教师：徐乐
上讲回顾 冬第6讲Jordan标准形 ·酉对角化充要条件 "Jordan标准形 ·Jordan标准形的存在定理 ·多项式矩阵 ·多项式矩阵的初等变换 。多项式矩阵的标准形式 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论 2
lexu@mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 2 上讲回顾 第6讲 Jordan标准形 酉对角化充要条件 Jordan标准形 • Jordan标准形的存在定理 多项式矩阵 • 多项式矩阵的初等变换 • 多项式矩阵的标准形式
酉对角化 冬定理 "阶方阵A,酉相似于对角阵的充要条件是 ■A为正规阵（实或复） ·不能酉对角化的矩阵仍有可能采用其它可逆变换将 其对角化 ·实正规矩阵一般不能通过正交相似变换对角化。 (若特征值全为实数，则可正交相似对角化) lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论
lexu@mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 3 酉对角化 定理 n阶方阵A，酉相似于对角阵的充要条件是 A为正规阵（实或复） • 不能酉对角化的矩阵仍有可能采用其它可逆变换将 其对角化 • 实正规矩阵一般不能通过正交相似变换对角化。 （若特征值全为实数，则可正交相似对角化）
Jordan标准形 Jordan标准形的存在定理 "任何方阵A均可通过某一相似变换化为如下 Jordan标准形 J,(2)= J1() 0 J2(2) J,(2) Jordan块矩阵 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论 ●●● 4
lexu@mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 4 Jordan标准形 Jordan标准形的存在定理 任何方阵A均可通过某一相似变换化为如下 Jordan标准形 = 0 ( ) ( ) ( ) 0 2 2 1 1 s s J J J J λ λ λ = i i i i i J λ λ λ λ 0 1 1 0 ( ) Jordan块矩阵
Jordan标准形 多项式矩阵（又称为阵） a11(2) 12(2) … 41n(2) A(2)= 421(2) 2(Z) a2n(2) 0n1(2) an2(2)…anm(2 ·称为的多项式矩阵 ■矩阵元素为的多项式 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论
lexu@mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 5 Jordan标准形 多项式矩阵（又称为λ阵） 称为λ的多项式矩阵 矩阵元素为λ的多项式 = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 21 22 2 11 12 1 λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ n n nn n n a a a a a a a a a A