西安电子科技大学：《矩阵论》研究生课程教学课件（讲义，2014）15 Penrose广义逆的性质

矩阵论 主讲教师：徐乐 2014年12月10日星期三

2014年12月10日星期三 矩 阵 论 主讲教师：徐乐

上讲回顾 第14讲矩阵的奇异值分解 ·酉对角分解 ·一般矩阵的奇异值分解 ·Penrose)广义逆 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论

lexu@mail.xidian.edu.cn mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 2 上讲回顾 第14讲 矩阵的奇异值分解  酉对角分解  一般矩阵的奇异值分解  Penrose广义逆

酉对角分解 冬厄米矩阵的谱分解 ·A为厄米矩阵，则存在酉矩阵U 0 UHAU- =Λ 0 A=UAUH=∑u ■将U写成列向量形式 U=[u1u2…u] lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论

lexu@mail.xidian.edu.cn mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 3 酉对角分解 厄米矩阵的谱分解  Ａ为厄米矩阵，则存在酉矩阵Ｕ  将Ｕ写成列向量形式 1 H 2 n O U AU O                  U u u ... u    12 n n H H iii i 1 A U U uu     

酉对角分解 冬非奇异矩阵的酉对角分解 ·定理 ·设A为n阶非奇异矩阵，则存在n阶酉矩阵U及V, 使得 01 0 62 U"AV= o,>0(i=1,2,,n) 0 6 A= i=1 ·若将U、V写成U=[u,u2…u],V=[y,v2…vn] lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论

lexu@mail.xidian.edu.cn mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 4 酉对角分解 非奇异矩阵的酉对角分解  定理 • 设Ａ为ｎ阶非奇异矩阵，则存在ｎ阶酉矩阵Ｕ及Ｖ， 使得 • 若将Ｕ、Ｖ写成 H 1 2 n O U AV , . . O                    i    0(i 1, 2,..., n) U u u ... u , V v v ... v    12 n 12 n    n H iii i 1 A uv    

酉对角分解 冬酉对角分解的求法 ·先对AHA对角化（酉对角化） ■求出变换矩阵V ·再令U=AV∑ A=U∑VH lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论

lexu@mail.xidian.edu.cn mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 5 酉对角分解 酉对角分解的求法  先对AHA对角化（酉对角化）  求出变换矩阵V  再令 1 U AV    H AU V  