西安电子科技大学：《矩阵论》研究生课程教学课件（讲义，2014）13 QR分解及满秩分解

UNIVE 矩阵论 主讲教师：徐乐 2014年12月10日星期三

2014年12月10日星期三 矩 阵 论 主讲教师：徐乐

上讲回顾 第12讲矩阵的QR分解 ·Givens矩阵与Givens7变换 "Householder2矩阵与Householderz变换 ·QR分解 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论

lexu@mail.xidian.edu.cn mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 2 上讲回顾 第12讲矩阵的QR分解  Givens矩阵与Givens变换  Householder矩阵与Householder变换  QR分解

Givens矩阵与Givens?变换 冬定义 设实数c与s满足c2+s2=1 由Givens矩阵所确定 的线性变换称为 Givens变换 ←(i) Givens矩阵 T= (初等旋转矩阵) ←(j) 标记为 Ti=Tj(c,s) lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论

lexu @mail.xidian.edu.cn mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 3 Givens矩阵与Givens变换 定义  设实数 c 与 s满足 2 2 cs1   i,j 1 1 c s (i) 1 1 s c ( j) 1 1                                             Givens矩阵 （初等旋转矩阵） T T (c,s) ij ij  标记为 由Givens矩阵所确定 的线性变换称为 Givens变换

Givens?矩阵与Givens?变换 性质 ·(1) [,c,]'=[T,c,s]=工，c,-) s=-sin(θ)=sin(-0) det[T,(c,)]=1 (2) K=[5,55] y=Tx=[nn2…n] 选c= 5 5 V5+号 V+另 5号+号≠0 Tx= 552…+…0… En lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论●

lexu@mail.xidian.edu.cn mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 4 Givens矩阵与Givens变换 性质  （1）  （2）

Givens矩阵与Givens?变换 定理1. ·设x=[5,52…5]≠0 c1=[100…0]' ·存在有限个Givens矩阵的乘积T,使得Tx=xe, 。其中： ·x为实数时 x=V=五 ·x为复数时 x=Vx"x 冬推论 ·对于任何非零列向量x∈及任何单位列向量z=1) ·均存在着有限个Givens矩阵的乘积T ·使得Tx=z lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论

lexu@mail.xidian.edu.cn mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 5 Givens矩阵与Givens变换 定理1.  设  存在有限个Givens矩阵的乘积T，使得  其中： • x为实数时 • x为复数时 推论  对于任何非零列向量x∈Rn及任何单位列向量 z(|z|=1)  均存在着有限个Givens矩阵的乘积T  使得  T 12 n x 0      Tx x e  1 2 T 2 x x xx   H x xx   T 1 e 100 0   Tx x z 