131 矩阵论 主讲教师：徐乐 2011年11月25日星期五
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上讲回顾 第10讲矩阵的满秩分解 ·矩阵的满秩分解 ·酉对角分解与奇异值分解 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论 2
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矩阵的满秩分解 定义：设A∈Cm"(r>0) ·若存在矩阵F∈CWG∈C" ·使得A=FG ·称其为A的一个满秩分解 Note: G ·满秩分解不唯一 A= =FG 0 存在性定理 ·任何非零矩阵均存在满秩矩阵 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论
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矩阵的满秩分解 冬Hermite标准形（行阶梯标准形 0 010 2 00 01 3 ·设B∈Cm"(r>0) B,= 00 00 0 ■且满足 00000 ·B的前行中每一行至少含一个非零元素（称为非零 行)，且第一个非零元素为1，而后(m-)行的元素 全为零（称为零行） ·若B中第i行的第一个非零元素（即1）在第列 (=1,2…),则j1<j2<.<j ·矩阵的第j1列，第2列，，第i列合起来恰为m阶单 位方阵1m的前r列（即j1,2,,j列上除了前述的1外 全为0)则称为Hermite标准形 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论
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矩阵的满秩分解 冬满秩分解的一种求法 ·设A∈CmⅫ ·行初等变换将A化成Hermite?标准形B -使得EA=B ·选取置换矩阵 -P的第i列为ej1 -其它(n一r)列只需确保P为置换矩阵即可 ·用P右乘任何矩阵 ·令G=B的前r行∈C" F=AP,∈CmT lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论
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