西安电子科技大学：《矩阵论》研究生课程教学课件（讲义，2014）16 Penrose广义逆与Moore广义逆

UNIVE 矩阵论 主讲教师：徐乐 2014年12月10日星期三

2014年12月10日星期三 矩 阵 论 主讲教师：徐乐

上讲回顾 冬第16讲Penrose广义逆的性质 ·{-逆的性质 。{1}-逆与{1,2}-逆 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论

2 lexu@mail.xidian.edu.cn mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 2 上讲回顾 第16讲 Penrose广义逆的性质  {1}-逆的性质  {1}-逆与{1，2}-逆

{1}-逆的性质 引理：rank(AB)≤min(rankA,rank B) 冬定理 ·设AeCm,BeC入eC,=h λ≠0 0 λ=0 rank(A)≥rankA (A)H∈AH{I AD∈(LA)KI} ·则 TAS1∈(SAT)I,(S∈Cmxm,T∈C") lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论

3 lexu@mail.xidian.edu.cn mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 3 {1}-逆的性质 引理： 定理  设  则 rank(AB) min (rankA,rank B )  mn nP A C ,B C     1 † 0 C, 0 0           (1) H H (A ) A {1}  † (1)   A ( A){1} 1 (1) 1 m m n n T A S (SAT){1} , (S C , T C ) m n      (1) rank(A ) rankA 

{1}-逆的性质 AA四和AA均为幂等矩阵且与A同秩(P2=P) R(AA)=R(A),N(AA)=N(A),R((AA)B)=R(AH) AA=I.台rank(A)=n AAa)=Im台Iank(A)=m AB(AB)四A=A台rank(AB)=rank(A) B(AB)(1AB=B rank(AB)=rank(B) 定理 ·矩阵A当且仅当A为满秩方阵时具有唯一的{I逆A(山=A1 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论

4 lexu@mail.xidian.edu.cn mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 4 {1}-逆的性质      定理 • 矩阵A当且仅当A 为满秩方阵时具有唯一的{1}逆 (1) 1 A A 

{1}-逆与{1,2}-逆 冬定理1 ·设Y,Z∈A{1,则YAZ∈A{1,2} 冬定理2 ·给定矩阵A及Z∈A{1,则Z∈A{1,2的充要 条件是rank(A)=rank(Z lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论

5 lexu@mail.xidian.edu.cn mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 5 {1}-逆与{1，2}-逆 定理1  设 Y , Z ∈A{1}, 则YAZ ∈ A {1，2} 定理 2  给定矩阵A及Z ∈A{1}, 则Z ∈A{1，2}的充要 条件是 rank(A)=rank(Z)