IT UNIVER 场论与复变函数 主讲：徐乐
场论与复变函数 主讲：徐乐
Review 留数 Res[f(=),-o] 2aee 留数定理 重fe)t=2πi∑ResIf(-),l m的取值可以 k=1 比函数极点的 留数计算 实际级数高， 而并不会影响 规则Ⅱ的有效 ·Rule:若zn为函数f(z)的一级极点，则 性，有时候将m Res[f(z),z0]=lim(z-z0)f(z) 取的比实际级 z→20 数高可以简化 ·Rule I:若z为函数fa)的m级极点，则 留数计算 Res[f(=).-o]=- e-r ·Rule IⅢ：设Pa、(a)在解析，Pa0、Qzo=0、 2'(a)≠0，则 )s P() Res()]=P() 2(). Q'() lexu@mail.xidian.edu.cn F&C
lexu @mail.xidian.edu.cn F & C 2 Review 留数 留数定理 留数计算 Rule I：若 z 0为函数 f ( z) 的一级极点，则 Rule II：若 z 0为函数 f ( z) 的 m 级极点，则 Rule III：设 P ( z ) 、 Q ( z ) 在 z 0解析,P ( z 0) ≠ 0 、 Q ( z 0)=0 、 Q’ ( z 0) ≠ 0, 则 0 1 1 Re [ ( ), ] ( ) 2 C s f z z f z dz c i 1 ( ) 2 Re [ ( ), ] n k C k f z dz i s f z z 0 Re [ ( ), ] lim( ) ( ) 0 0 z z s fz z z z fz 0 1 0 0 1 1 Re [ ( ), ] lim ( ) ( ) ( 1)! m m m z z d s fz z z z fz m dz ( ) ( ) ( ) P z f z Q z •m的取值可以 比函数极点的 实际级数高， 而并不会影响 规则 II 的有效 性,有时候将 m 取的比实际级 数高可以简化 留数计算 0 0 0 ( ) Re [ ( ), ] '( ) P z sf z z Q z
Review 无穷远点留数e/e以小2知手t=-c2n手.e出 ·若函数f()在扩充复平面内只有有限个孤立奇点，则f ()在所有奇点（包括0点)的留数总和必为零 Rule IV:Res[fe,o]=-Resf白)三，0] 采用留数来求解定积分有两点须满足： ·被积函数必须与某解析函数密切相关 ·积分路径是闭曲线 典型定积分留数求解 ·积分类型1：心 R(cos0,sine)de 2xi>Reslf(=).=,] k= ·R(cos0,sin0)为cos0与sin0的有理函数 lexu@mail.xidian.edu.cn F&C
lexu@mail.xidian.edu.cn F & C 3 Review 无穷远点留数 若函数f (z)在扩充复平面内只有有限个孤立奇点，则 f (z)在所有奇点（包括∞点）的留数总和必为零 Rule IV： 采用留数来求解定积分有两点须满足： 被积函数必须与某解析函数密切相关 积分路径是闭曲线 典型定积分留数求解 积分类型 I ： • R (cosθ，sinθ)为 cosθ与 sinθ的有理函数 1 1 1 Re [ ( ), ] ( ) ( ) 2 2 C C s f z f z dz c f z dz i i 2 1 1 Re [ ( ), ] Re [ ( ) ,0] sf z sf z z 2 0 R d (cos ,sin ) 1 2 Re [ ( ), ] n k k i sf z z
第21讲留数在积分中的应用及复习 冬留数在定积分中的应用( 冬复变函数复习 lexu@mail.xidian.edu.cn F&C
lexu@mail.xidian.edu.cn F & C 4 第21讲 留数在积分中的应用及复习 留数在定积分中的应用(II) 复变函数复习
留数在定积分中的应用 (II) 冬积分类型Ⅱ： "R(x)dx ·Rx)是x的有理函数 ■分母的次数至少比分子的次数高二次 ·Rc)在实轴上没有孤立奇点 ■不失一般性，设： R(z)= 2+a2-++a,m-n≥2 2"+b,2m-+…+bn lexu@mail.xidian.edu.cn F&C
lexu@mail.xidian.edu.cn F & C 5 留数在定积分中的应用（II） 积分类型 II： R(x)是x的有理函数 分母的次数至少比分子的次数高二次 R(x)在实轴上没有孤立奇点 不失一般性，设： R x dx ( ) 1 1 1 1 () , 2 n n n m m m z az a Rz m n z bz b