IDIAN 矩阵论 主讲教师：徐乐 2014年12月24日星期三
2014年12月24日星期三 矩 阵 论 主讲教师：徐乐
上讲回顾 第18讲广义逆的应用 ·矩阵方程AXB=D的相容性条件及通解 ·极小范数解 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论 2
lexu@mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 2 上讲回顾 第18讲 广义逆的应用 矩阵方程AXB=D的相容性条件及通解 极小范数解
矩阵方程AXB=D的相容性条件及通解 定理1 ■矩阵方程AXB=D相容（有解)的充要条件 AA(DDB(B=D D在相容情况下矩阵方程的通解为 {A山DB山+Y-A山AYBBY为阶数合适的任意矩阵} Note ■通解中两个A、A()及两个B、B)完全可不同 ·通解集合中，不同的Y完全可能对应同一个解 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论 3
lexu@mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 3 矩阵方程AXB=D的相容性条件及通解 定理1 矩阵方程AXB=D相容（有解）的充要条件 在相容情况下矩阵方程的通解为 Note 通解中两个A、A(1)及两个B、B(1)完全可不同 通解集合中，不同的Y完全可能对应同一个解 (1) (1) AA DB B D= { } (1) (1) (1) (1) A DB Y A AYBB | Y + − 为阶数合适的任意矩阵
矩阵方程AXB=D的相容性条件及通解 必推论 ·线性方程组Ax=b有解的充要条件为AA四b=b D且通解为{Ab+(L.-AA)yIy为列向量} ·A{1(AXA=A的通解)为如下集合 {AAA四+Y-AOAYAA} lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论 4
lexu@mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 4 矩阵方程AXB=D的相容性条件及通解 推论 线性方程组Ax=b有解的充要条件为 且通解为 A{1}(AXA=A的通解)为如下集合 (1) AA b b = { } (1) (1) A b (I A A)y | y + −n 为列向量 { } (1) (1) (1) (1) A AA Y A AYAA + −
极小范数解 冬引理1 ·方程Ax=b若有解，则必存在唯一的极小范数解（对2- 范数)，且该解在R(AH中 必引理2 ·A{1,4}可由如下方程的通解构成XA=AaA D其中A1,4)是A的某一个{1,4}-逆 ⑩Note:对于X∈A{L,4,XA是不变量 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论
lexu@mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 5 极小范数解 引理1 方程Ax=b若有解，则必存在唯一的极小范数解（对2- 范数），且该解在R(AH)中 引理2 A{1,4}可由如下方程的通解构成 其中A(1,4)是A的某一个{1,4}-逆 Note：对于X∈A{1,4}，XA是不变量 (1,4) XA A A =