、1931 矩阵论 主讲教师：徐乐 2014年12月24日星期三
2014年12月24日星期三 矩 阵 论 主讲教师：徐乐
上讲回顾 冬第17讲Penrose广义逆与Moore)广义逆 ·{1}-逆与{1,2,3}-逆、{1,2,4}-逆 ·关于A+ ·广义逆的计算 o由HIermite标准形求{I}-逆 ⑩由满秩分解求广义逆 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论
lexu@mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 2 上讲回顾 第17讲 Penrose广义逆与Moore广义逆 {1}-逆与{1，2，3}-逆、 {1，2，4}-逆 关于A+ 广义逆的计算 由Hermite标准形求{1}-逆 由满秩分解求广义逆
投影算子与投影矩阵 投影 ·设L,M为C"的子空间并构成直和L+M=L⊕M=Cm ⑩即Vx∈C",唯一的y∈L,z∈M使x=y+z O称y为x沿着M到L的投影 必定义 ■将任意x∈Cm变为其沿着M到L的投影的变换 称为沿着M到L的投影算子，记为PL,M D即PX=y∈L ⑩投影算子是线性变换，其矩阵称为投影矩阵，仍记为 PLM lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论 ●●
lexu@mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 3 投影算子与投影矩阵 投影 设L，M为Cn的子空间并构成直和 即 称 y为x沿着M到L的投影 定义 将任意 x∈Cn 变为其沿着M到L的投影的变换 称为沿着M到L的投影算子，记为PL,M 即 投影算子是线性变换，其矩阵称为投影矩阵,仍记为 PL,M n LML MC + =⊕ =
投影算子与投影矩阵 冬引理 ·设n阶方阵E为幂等矩阵，则N(E)=R①-E) 必定理 ·阶方阵P成为投影矩阵的充要条件是P为幂等 矩阵 冬投影矩阵的构造 ·设已知C的子空间L、M构成直和 PLM=[X O][X Y] lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论
lexu@mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 4 投影算子与投影矩阵 引理 设n阶方阵E为幂等矩阵，则N(E)=R(I-E) 定理 n阶方阵P成为投影矩阵的充要条件是P为幂等 矩阵 投影矩阵的构造 设已知Cn的子空间L、M构成直和 [ ][ ] 1 P X O X Y L,M − =
正交投影算子与正交投影矩阵 正交投影算子与正交投影矩阵 ·正交补空间 ⑩L为C"的子空间，其正交补空间为 L={x(x,y)=0,xeC,y∈L ■定义 ⑩设L是C的子空间，则称沿着L1到L的投影算子为 正交投影算子，简记为P D正交投影算子的矩阵称为正交投影矩阵，仍记为P lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论
lexu@mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 5 正交投影算子与正交投影矩阵 正交投影算子与正交投影矩阵 正交补空间 L为Cn的子空间，其正交补空间为 定义 设L是Cn的子空间，则称沿着L⊥到L的投影算子为 正交投影算子，简记为PL 正交投影算子的矩阵称为正交投影矩阵，仍记为PL { } n L x x y 0,x C , y L ⊥ = =∈ ∈ （ ， ）