AN 矩阵论 主讲教师：徐乐 2014年9月29日星期一
矩阵论 主讲教师：徐乐 2014 年 9 月29日星期一
上讲回顾 第三讲直和及线性变换 ·子空间的直和 ■线性变换及其运算 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论● 2
上讲回顾 第三讲直和及线性变换 子空间的直和 线性变换及其运算 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 2
子空间的直和 必定义 ·设V,和V,是线性空间的子空间 ·若其和空间V,+V,中的任一元素只能唯一的表示为 V的一个元素与V,的一个元素之和 - 即x∈Y+V, -存在唯一的y∈V,z∈V, 使x=y+z ·则称V,+V,为V与V,的直和 ·记为V⊕'2 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论●
子空间的 和直 定义 设V1 和 V2是线性空间V的子空间 • 若其和空间V1 + V2中的任一元素只能唯一的表示为 中的任一元素只能唯一的表示为 V1的一个元素与V2的一个元素之和 – 即 – 存在唯一的 使 x V1 V2 1 2 y V ,z V – 使 x = y + z • 则称V1 + V2为V1与V2的直和 • 记为 V1 V2 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 3
子空间的直和 冬定理 ■关于直和如下四种表述等价 ·(1)V,+V,成为直和Y⊕， ·（2)VnV2={0} (3)dim(+)=dim+dim ·（4)若 一X1,x2…,x,为V的基 -y1y2…,y,为V的基 -则x1,x2…,x,y1,y2…,y,为Y1+V2的基 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论
子空间的 和直 定理 关于直和如下四种表述等价 • （1） V + V 成为直和 V V 1 + V2成为直和 • （2） V1 ∩ V2 = {0} V1 V2 • （3） • （4）若 1 2 dim 1 dim 2 dim(V V ) V V – 为V1的基 – 为V2的基 s x , x , x 1 2 t y , y , y 1 2 2 – 则 为V1 + V2的基 t y , y , y 1 2 s t x , x , x , y , y , y 1 2 1 2 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 4
线性变换及其运算 冬定义 ·设V是数域K上的线性空间，T是V到自身的一个映射， 使得对于V中的任意元素x均存在唯一的y∈V与之对 应，称T为V的一个变换或算子，记为 冬性质 Tx=y ·线性变换把零元素仍变为零元素 ·负元素的象为原来元素的象的负元素 ·线性变换把线性相关元素组仍变为线性相关元素组 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩阵论
线性变换及其运算 定义 设V是数域K上的线性空间，T是V到自身的一个映射， 使得对于V中的任意元素 x 均存在唯一的 y ∈V 与之对 应，称T为V的一个变换或算子，记为 性质 Tx y 线性变换把零元素仍变为零元素 负 素 象为 来 素 象 负 素 Tx y 负元素的象为原来元素的象的负元素 线性变换把线性相关元素组仍变为线性相关元素组 lexu@mail.xidian.edu.cn 矩 阵 论 5