《线性代数》课程教学资源（PPT课件）第四章 向量组的线性相关性 4-5 线性方程组的解的结构

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH现对xr+1,,x,取下列 n-r 组数：X+1Xr+2X, = -biixr+1 -..- bi,n--x.分别代入?X, = -brixr+1 --.- br,n--x,国下质

现对 x r+1 ,  , x n 取下列 n− r 组数：               + + n r r x x x  2 1      = − − − = − − − + − + − r r r r,n r n r ,n r n x b x b x x b x b x    1 1 1 1 1 1 1 分别代入 , .               1 0 0  ,               0 1 0  ,               = 0 0 1  

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH=依次得从而求得原方程组的 n一r个解：-b(- b12 ·-br.- br1- br2r.n-052 =1051 =n-r =，0-S友回上页质

依次得           xr x  1 , b b r                       − − = 0 0 1 1 11 1    , 0 1 0 2 12 2                       − − =   br b  . b b r,n r ,n r n r                       − − = − − − 1 0 0 1    从而求得原方程组的 n− r 个解： . b b , r,n r ,n r           − − − −  1 , b b r           − − 2 12 ,  b b r           − − = 1 11   

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH下面证明51,52，…,5.-是齐次线性方程组解空间的一个基(1)证明51,52,.…",5,线性无关1-0-由于 n-r个 n-r 维向量线性无关，所以 n-r个n维向量Si,52,5n-r亦线性无关顶回质

下面证明 是齐次线性方程组解空 间的一个基． n r , , ,  1  2   −                                           1 0 0 , , 0 1 0 , 0 0 1     由于 n − r 个 n − r 维向量 线性无关， 所以 n − r 个 n 维向量 n r 亦线性无关. , , ,  1  2   − (1) , , , . 证明 1  2   n 线性无关

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH(2)证明解空间的任一解都由51,52,…,5n-线性表示设x ==(a,. , ar+. an)为上述方程组的一个解．再作5,52…,5,-,的线性组合n = ar+151 + Ar+252 + ... + 2,5n-,由于 51,52，,5n-r 是Ax =0 的解,故n 也是Ax=0的解.下面来证明=n上页回下页

. (2) , , , 1 2 线性表示 证明解空间的任一解都可 由     n−r ( ) .1 1 方程组的一个解 设 为上述 T x =  =   r r+   n , , , , 再作 1  2   n−r 的线性组合  = r+1 1 + r+2 2 ++  n n−r 由于 是 的解 故 也是 的 解 . n r , , ,  1  2   − Ax = 0 ,  Ax = 0 下面来证明 = 

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHn = ar+151 + ar+252 + ... + an,5m-(- bl1(- b12- b1...:-br,n-r-br1- br2CrAr+00= r+11+ 2r+2+...+ 2.=0Ar+201:由于与n都是方程Ax = 0的解,而Ax =0又等价于上页下页这回

                      − − = + 0 0 1 1 11 1   r r b b                        − − + + 0 1 0 2 12 2   r r b b                        − − + + − − 1 0 0 1    r,n r ,n r n b b   = r+1 1 + r+2 2 ++  n n−r                       = + + n r r r c c      2 1 1 由于与都是方程Ax = 0的解,而Ax = 0又等价于