《线性代数》课程教学资源（PPT课件）第四章 向量组的线性相关性 4-5 线性方程组的解的结构

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH（2）若x =， 为 Ax =0的解，k 为实数，则x =k,也是Ax = 0 的解证明A(k)= kA(E) = k0 = 0.证毕。由以上两个性质可知，方程组的全体解向量所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的，因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线性方程组 Ax=0 的解空间2国顶下质

（2）若 为 的解， 为实数，则 也是 的解． x =  1 Ax = 0 k x = k 1 Ax = 0 证明 A(k ) kA( ) k0 0.  1 =  1 = = 由以上两个性质可知，方程组的全体解向量 所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的， 因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线 性方程组 Ax = 0 的解空间． 证毕

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH一、基础解系及其求法1.基础解系的定义ni,n2,.…,n,称为齐次线性方程组Ax=0的基础解系，如果(1)ni,n2,,n,是Ax =0的一组线性无关的解;(2)Ax =0的任一解都可由ni,n2,…,n,线性表出.A页回下页

解 系 如 果 称为齐次线性方程组 的基础 , 1 ,2 ,,t Ax = 0 (1) , , , 0 ; 1 2  t是Ax = 的一组线性无关的解 . (2) 0 , , , 1 2 出 Ax = 的任一解都可由   t线性表 １．基础解系的定义 二、基础解系及其求法

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH如果ni,n2,..,n,为齐次线性方程组 Ax=0的一一组基础解系,那么，Ax=0的通解可表示为x = k,ni + kn2 +...+ k,nt其中k,,k,,k,-是任意常数页回下页

的一组基础解系 那么 的通解可表示为 如果 为齐次线性方程组 0 = = Ax t Ax , , 1 ,2 ,, 0 x = k11 + k22 ++ ktt , , , . 其中k1 k2  kn−r是任意常数

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH2.线性方程组基础解系的求法设齐次线性方程组的系数矩阵为A，并不妨设A的前 r个列向量线性无关.于是A可化为b.1···br.110口顶

２．线性方程组基础解系的求法                   − − 0 0 0 0 0 1 1 0 ~ 1 , 1 1 1,                         r r n r n r b b b b A 设齐次线性方程组的系数矩阵为 ，并不妨 设 的前 r 个列向量线性无关．于是 可化为 A A A

HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHbX=0Ax =0个x, = -biixr+1 -..- br.Xx, = -brixr+1 -...- br-rx口质

0 0 0 0 0 0 1 1 0 2 1 1 , 1 1 1, =                                       − − n r r n r n r x x x b b b b                                 = − − − = − − −  + − + − r r r r,n r n r ,n r n x b x b x x b x b x    1 1 1 1 1 1 1 Ax = 0