导航 解fe)2x2-(1+2ax+2al血x,定义域为(0，+o 则f与-(1+2m+22=1-2@ X ①当2a≤0，即≤0时x-2>0, 所以当0<x<1时，fx)<0, 当x>1时f'x)>0, 所以fx)在区间(0,1)内单调递减，在区间(1，+∞)内单调递增
导航 (1)解:f(x)= 𝟏 𝟐 x 2 -(1+2a)x+2aln x,定义域为(0,+∞). 则 f'(x)=x-(1+2a)+ 𝟐𝒂 𝒙 = (𝒙-𝟏)(𝒙-𝟐𝒂) 𝒙 . ①当2a≤0,即a≤0时,x-2a>0, 所以当0<x<1时,f'(x)<0, 当x>1时,f'(x)>0, 所以f(x)在区间(0,1)内单调递减,在区间(1,+∞)内单调递增
导 ② 当0<2a<1,即0<a<号时，0<2a<1, 所以当0<x<2a或x>1时fx)>0,当2<x<1时fx)<0, 所以fx)在区间(0,20和(1，+o)内单调递增，在区间(2a,1)内单 调递减。 国当时)心≥0，故9在区间0，+o内单调造播 ④当时，2心1，所以当0<x<1或>2a时fx)>0,当1<x<2a 时fx)<0
导航 ②当 0<2a<1,即 0<a< 𝟏 𝟐 时,0<2a<1, 所以当0<x<2a或x>1时,f'(x)>0,当2a<x<1时,f'(x)<0, 所以f(x)在区间(0,2a)和(1,+∞)内单调递增,在区间(2a,1)内单 调递减. ③当 a= 𝟏 𝟐 时,f'(x)= (𝒙-𝟏) 𝟐 𝒙 ≥0,故 f(x)在区间(0,+∞)内单调递增. ④当 a> 𝟏 𝟐 时,2a>1,所以当 0<x<1 或 x>2a 时,f'(x)>0,当 1<x<2a 时,f'(x)<0
导则 所以fx)在区间(0,1)和(2，+∞)内单调递增，在区间(1,2)内单 调递减。 (2)证明：当0时，要证p()+w)e+2x-l, 即证nx+22-e+2xl,只需证e心Ix1>0. 设g(x)=e*-lnx-1, 则g')=eg”=e+20
导航 所以f(x)在区间(0,1)和(2a,+∞)内单调递增,在区间(1,2a)内单 调递减. (2)证明:当 a=0 时,要证 xp(x)+q(x)<e x + 𝟏 𝟐 x 2 -x-1, 即证 ln x+𝟏 𝟐 x 2 -x<e x + 𝟏 𝟐 x 2 -x-1,只需证 e x -ln x-1>0. 设 g(x)=e x -ln x-1, 则 g'(x)=e x - 𝟏 𝒙 ,g″(x)=e x + 𝟏 𝒙 𝟐 >0
导航 所以g'x)在区间(0，+o)内单调递增. 又g'(分）=Ve-2<0,g'(1)=e-1>0, 1 所以存在唯一的xn∈(，1)，使得g'《o)=0,即e0= 即-lnx0=x0. 所以gx)在区间(0，o)内单调递减，在区间(x0,+∞)内单调递增， 所以ge)的最小值为go)=e0-lnx-l=+-1>2-1=10, xo 所以e-lnx-1>0,即原不等式得证
导航 所以 g'(x)在区间(0,+∞)内单调递增. 又 g' 𝟏 𝟐 = √𝐞-2<0,g'(1)=e-1>0, 所以存在唯一的 x0∈ 𝟏 𝟐 ,𝟏 ,使得 g'(x0)=0,即𝐞 𝒙𝟎 = 𝟏 𝒙𝟎 , 即-ln x0=x0. 所以 g(x)在区间(0,x0)内单调递减,在区间(x0,+∞)内单调递增, 所以 g(x)的最小值为 g(x0)=𝐞 𝒙𝟎-ln x0-1= 𝟏 𝒙𝟎 +x0-1>2-1=1>0, 所以 e x -ln x-1>0,即原不等式得证
导航 反思感悟 利用导数法证明不等式fx)>g心)在区间D上恒成立的基本方 法是先构造函数hx)=fx)g),再根据函数hc)的单调性或最 值证明hx)>0.若易求出fx)的最小值与gx)的最大值，且易判 断其大小，则可由x)min>gc)max推出fx)>gx)恒成立
导航 利用导数法证明不等式f(x)>g(x)在区间D上恒成立的基本方 法是先构造函数h(x)=f(x)-g(x),再根据函数h(x)的单调性或最 值证明h(x)>0.若易求出f(x)的最小值与g(x)的最大值,且易判 断其大小,则可由f(x)min>g(x)max推出f(x)>g(x)恒成立