导航 【变式训练1】已知函数f)x2e*13x只 (1)讨论函数fx)的单调性； (2)设ge)子3x己，求证f)≥g)对任意实数恒成立 (1)解：fx)=xk+2)(e-11) 由fx)=0得x1=-2,x2=0,水3=1. 当-2<x<0或x>1时，fx)>0; 当x<-2或0<x<1时f')<0, 所以函数fx)在区间(-2,0)和(1，+∞)内是单调递增的，在区间 (-0,-2)和(0,1)内是单调递减的
导航 【变式训练 1】 已知函数 f(x)=x2 e x-1 - 𝟏 𝟑 x 3 -x 2 . (1)讨论函数 f(x)的单调性; (2)设 g(x)= 𝟐 𝟑 x 3 -x 2 ,求证:f(x)≥g(x)对任意实数恒成立. (1)解:f'(x)=x(x+2)(ex-1 -1), 由f'(x)=0得x1 =-2,x2 =0,x3 =1. 当-2<x<0或x>1时,f'(x)>0; 当x<-2或0<x<1时,f'(x)<0, 所以函数f(x)在区间(-2,0)和(1,+∞)内是单调递增的,在区间 (-∞,-2)和(0,1)内是单调递减的
2)证明：fx)-g(c)=x2e1-x3=x2(e-1x) 因为对任意实数x总有x2≥0， 所以设h(x)=er-1-x. h'x)=e-1-1,由h'x)=0得x=1,则当x<1时，h'x)<0,即函数hx)在 区间(-oo,1)内单调递减，因此当x<1时，hx)>h(1)=0. 当x>1时，h'x)>0,即函数h(c)在区间(1，+oo)内单调递增，因此当 x>1时，h(x)>h(1)=0. 当x=1时，h(1)=0. 所以对任意实数x都有c)≥0，即fx)-8x)≥0，故对任意实数x, 恒有fx)≥g(c)
导航 (2)证明:f(x)-g(x)=x2e x-1 -x 3=x2 (ex-1 -x). 因为对任意实数x总有x 2≥0, 所以设h(x)=e x-1 -x. h'(x)=e x-1 -1,由h'(x)=0得x=1,则当x<1时,h'(x)<0,即函数h(x)在 区间(-∞,1)内单调递减,因此当x<1时,h(x)>h(1)=0. 当x>1时,h'(x)>0,即函数h(x)在区间(1,+∞)内单调递增,因此当 x>1时,h(x)>h(1)=0. 当x=1时,h(1)=0. 所以对任意实数x都有h(x)≥0,即f(x)-g(x)≥0,故对任意实数x, 恒有f(x)≥g(x)