《高等数学》课程教学资源（PPT课件，下册）格林公式及其应用

2)若D不满足以上条件，则可通过加辅助线将其分割 为有限个上述形式的区域，如图 ,影at n9Na = -jmPd+Ody(aD:表示D,的正向边界) k=1 Pdx+Qdy 证毕

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 y o x L 2) 若D不满足以上条件, 则可通过加辅助线将其分割 D1 Dn D2  ( )  =   −   = n k D x y y P x Q k 1 d d ( ) x y y P x Q D d d   −     =  = + n k Dk P x Q y 1 d d  = + L Pdx Qdy 为有限个上述形式的区域 , 如图 ( 表示 的正向边界) Dk Dk  证毕

格林公式 dxdy=fPdx+Qdy 1 推论：正向闭曲线L所围区域D的面积 A=2手，dy-yd 例，稀圆L80038s2r所西面羽 A-ifrdy-vdx (abcosb

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 推论: 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积  = − L A xdy y dx 2 1 格林公式    = +        −   D L x y P x Q y y P x Q d d d d 例如, 椭圆     , 0 2 sin cos :      = = y b x a L 所围面积  = +     2 0 2 2 ( cos sin )d 2 1 ab ab =  ab

山东农业才 本堂 格林公式的应用 1.简化二重积分 例1.计算 e dxdy,其中D是以O(0,0),A(1,1), B(0,1)为顶点的三角形闭域. 解：令P=0,Q=xey,则 =e-v2 ao ap B(0,1) A(1,1) 8x Oy D 利用格林公式，有 y=x Seddyfxedy =joxe"dy=j0edl-e〉

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 格林公式的应用 1. 简化二重积分 例1. 计算 其中D 是以 O(0,0) , A(1,1) , B(0,1) 为顶点的三角形闭域 . 解: 令 , 则 2 0, y P Q xe − = = 利用格林公式, 有  − = D y x e dy 2 x e y OA y d 2  − = ye y y d 1 0 2  − = (1 ) 2 1 −1 = − e y = x o y x A(1,1) B(0,1) D

2.简化曲线积分 例2.设L是一条分段光滑的闭曲线，证明 2xydx+x2dy=0 证：令P=2xy,9=x2,则 80 ap Ox Oy =2x-2x=0 利用格林公式，得 f2xydx+x2dy=fodxdy=0

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 2. 简化曲线积分 例2. 设 L 是一条分段光滑的闭曲线, 证明 2 d d 0 2 + =  xy x x y L 证: 令 2 , , 2 P = xy Q = x 则 利用格林公式, 得 xy x x y L 2 d d 2  +  = D 0dx dy = 0

本堂 例3计算∫ex,其中 曲线AB是半径为r的圆 在第一象限部分. 0 B 解 引入辅助曲线L,L=OA+B+BO 应用格林公式，P=0,Q=x有 ∬=fx=o+6+ao, 由于o4x=0,∫ox=0, ∫sw=-J∬k=-4r2

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例 3 计算AB xdy,其中 曲线AB是半径为r的圆 在第一象限部分. 解 引入辅助曲线L, L = OA+ AB + BO 应用格林公式, P = 0, Q = x 有   − = L D dxdy xdy ,    = + + OA AB BO xdy xdy xdy x y o L A B = 0, = 0, OA BO 由于 xdy xdy . 4 1 2 xdy dxdy r D AB  = − = −   