《高等数学》课程教学资源（PPT课件，下册）常数项级数的审敛法

2)若p>1,因为当n-1≤x≤n时 故 2b 1 1 np-1 1]2司 n2- (n+1)P- s到，a+p]1a n→o0 故强级数收敛，由比较审敛法知级数收敛

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 p 1, 因为当 , 1 1 p p n x  故  − = n p n p x n n 1 d 1 1  −  n n p x x 1 d 1   − −   − = −1 −1 1 ( 1) 1 1 1 p p p n n 考虑强级数   − −   − −  =  1 1 2 1 ( 1) 1 p p n n n 的部分和  n   + −   = − − =  1 1 1 ( 1) 1 1 p p n k k k n →  故强级数收敛, 由比较审敛法知 p 级数收敛 . 时, 1 ( 1) 1 1 − + = − p n       + + + −       + −       − −1 −1 −1 −1 −1 ( 1) 1 1 3 1 2 1 2 1 1 p p p p p n n  1 2) 若

山东农业大 等数学 主讲 办本堂 调和级数与p级数是两个常用的比较级数 若存在NeZ+,对一切n≥W, 04,≥则2n发散： n=l ②dp>》期立枚数 00 n=1

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数. 若存在 , + N  Z 对一切 n  N

例2.证明级数 n(n+1) 发散. 证：因为 mn+元之ya+W 1 (n=1,2,.) n+1 而级数 发散 k=2 根据比较审敛法可知，所给级数发散

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 证明级数 发散 . 证: 因为 2 ( 1) 1 ( 1) 1 +  n n + n 而级数   = = 2 1 k k 发散 根据比较审敛法可知, 所给级数发散. 例2

山东农大 主讲 苏本堂 定理3.（比较审敛法的极限形式） 设两正项级数 00 00 ∑4n,∑yn满足1im4n=l,则有 n=1 n=l n-→oVn (1)当0<1<o时，两个级数同时收敛或发散， (2)当1=0且∑yn收敛时，∑4n也收敛； n=1 n=l 00 00 (3)当1=o且∑yn发散时，∑4n也发散. n=1 n=1 证：据极限定义，对&>0，存在NeZ+,当n>N时， 整-<公(*0)

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 定理3.(比较审敛法的极限形式) lim l, v u n n n = → 则有 两个级数同时收敛或发散 ; (2) 当 l = 0 (3) 当 l =∞ 证: 据极限定义, 设两正项级数 满足 (1) 当 0 < l <∞ 时

(l-8)vn≤un≤(1+8)vn (n>N) 00 0 (1)当0≤1<oo时，取8<1，由定理2可知 ∑4n与∑yn n=1 n=l 同时收敛或同时发散； (2)当1=0时，利用un<(1+e)yn(n>N),由定理2知 若∑yn收敛，则∑4n也收敛； n=l n=l (③)当1=oo时，存在N∈Z+,当n>N时，4>1，即 Un >Un 00 00 由定理2可知，若∑n发散，则∑n也发散. n=l n=l

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 n n n (l − )v  u  (l +  )v 由定理 2 可知   n=1 n v 同时收敛或同时发散 ; (n  N ) (3) 当l = ∞时, 即 n n u v 由定理2可知, 若   n=1 n v 发散 , (1) 当0 < l <∞时, (2) 当l = 0时, 由定理2 知   n=1 n 若 v 收敛