《复变函数与积分变换》课程教学资源（PPT课件）第四章 解析函数的级数表示 4.3 第三节 泰勒级数

复变函数第三节泰勒级数一、问题的引入二、泰勒定理三、将函数展开成泰勒级数四、典型例题五、小结与思考U

第三节 泰勒级数 二、泰勒定理 三、将函数展开成泰勒级数 一、问题的引入 四、典型例题 五、小结与思考

复变函数一、问题的引入问题：任一个解析函数能否用幂级数来表达？设函数f(z)在区域 D内解析,lS一zol=r为D内以z为中心的任一圆周它与它的内部全包含于D,记为KK内任意点Z如图：圆周-zo=rZoKSDU

2 一、问题的引入 问题: 任一个解析函数能否用幂级数来表达？ D z K . 内任意点 设函数 f (z)在区域 D内解析, , 为D内以z0 为中心的任一圆周 如图: r 0 z . K − z = r 圆周  0 . 0  − z = r 它与它的内部全包含于D,记为K

复变函数由柯西积分公式，有f(S)dS，其中K取正方向f(z) =2元i5-z因为积分变量取在圆周K上,点z在K的内部Z-Zo所以<1.S-Zo则s-zZ-ZoS-ZoS-Zou

3 由柯西积分公式 , 有  − = K z f i f z d , ( ) 2π 1 ( )    其中 K 取正方向. 因为积分变量 取在圆周K 上,点 z 在 K 的内部, 1. 0 0  − − z z z  所以 0 0 0 1 1 1 1 z z z z z − − − − = −    则

复变函数-Zo-Z0-Zo8126(z-Zo)"一0N-ms于是 f(z)=(z- zo)"n=080f()2Jdg-z0)n(z-zo)" /d十2元(SNu

4    + − − + − − + − = 2 0 0 0 0 0 1 ( ) ( ) 1 z z z z z z  z      + − − + n  z z z ( ) 0 0    = + − − = 0 1 0 0 ( ) . ( ) 1 n n n z z  z   − = +  −      − = 1 0 1 0 0 ( ) ( ) ( )d 2π 1 ( ) N n n K n z z z f i f z    于是         − − +  = + K n N n n z z z f i ( ) d . ( ) ( ) 2π 1 1 0 0   

复变函数由高阶导数公式，上式又可写成2f(z) =(z- zo)n + R(z)n!n=0f(S)L2其中dcR(z)心=(z - zo)- Z0) n+112元i(S若 lim R(z)= 0,N-→88f(n(zo)Z(z-zo)"可知在K内 f(z)=n!n=0u

5 由高阶导数公式, 上式又可写成  − = = − + 1 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ! ( ) ( ) N n N n n z z R z n f z f z 其中         − − =  = + K n N n N n z z z f i R z    ( ) d ( ) ( ) 2π 1 ( ) 1 0 0 lim ( ) = 0, → R z N N 若 可知在K内   = = − 0 0 0 ( ) ( ) ! ( ) ( ) n n n z z n f z f z