复变函数第四节对数留数与辐角原理一、对数留数二、辐角原理三、路西定理四、小结与思考U
第四节 对数留数与辐角原理 一、对数留数 二、辐角原理 三、路西定理 四、小结与思考
复变函数一、对数留数1.定义具有下列形式的积分：6(2)dz2元i? f(z)称为f(z)关于曲线C的对数留数f'(z)说明:1)对数留数即函数(z)的对数的导数f(z)在C内孤立奇点处的留数的代数和：f'(z)的奇点2)函数(z)的零点和奇点都可能是7u
2 一、对数留数 1. 定义 具有下列形式的积分: C z f z f z i d ( ) ( ) 2 1 称 为f (z)关于曲线C的对数留数. 说明:1) 对数留数即函数 f(z)的对数的导数 ( ) ( ) f z f z 在C内孤立奇点处的留数的代数和; 2) 函数 f(z)的零点和奇点都可能是 ( ) ( ) f z f z 的奇点
复变函数2.定理一如果f(z)在简单闭曲线C上解析且不为零在C的内部除去有限个极点以外也处处解析1f'(z)那么dz= N-P. 其中,N为,f(z)在C2元 i f(z)内零点的总个数,P为,(z)在C内极点的总个数且C取正向注意：m级的零点或极点算作m个零点或极点u
3 2. 定理一 如 果f (z)在简单闭曲线C上解析且不为零, 在C的内部除去有限个极点以外也处处解析, 那么 d . ( ) ( ) 2π 1 z N P f z f z i C = − 内零点的总个数, P为 f(z)在C内极点的总个数. 其中, N为 f(z)在C 且C取正向. 注意: m级的零点或极点算作m个零点或极点
复变函数证设f(z)在C内有一个n级的零点ak则在zal<内， f(z)=(za)n(z),，((z)±0)f'(z) = n(z- a)n (z)+(z-ak)n '(z)f'(z)p'(z)nk在0<akl<内，Xf(z)z-akp(z)p'(z)是这一邻域内的解析函数,p(z)f'(z)是的一级极点且留数为nkiakf(z)u
4 证 设 f (z)在 C内有一个nk 级的零点ak， f (z) (z a ) (z), nk 则在 z − ak 内， = − k ( (z) 0 ) f (z) n (z a ) (z) (z a ) (z), k nk k n = k − k + − 在0 z − ak 内， . ( ) ( ) ( ) ( ) zz z a n f z f z k k + − = . ( ) ( )是这一邻域内的解析函数 zz . ( ) ( ) k nk f z f z a 是 的一级极点且留数为
复变函数设,f(z)在C内有一个Pk级的极点bk1则在0<-bkl<S'内,f(z)=y(z), ((z)0)(z - b,)pr f'(z) = -Pk(z-bk)-Px-1y(z)+(z - bh)-Pk y'(z)J"(2) = - Pk + y(2)在0<z-bk|<S'内,f(z) zbk(z)y'(z)是这一邻域内的解析函数。y(z)f(z)b是的一级极点且留数为-Pk:f(z)U
5 设 f (z)在C内有一个 pk 级的极点bk， ( ), ( ) 1 ( ) z z b f z pk k − 则在 − 内， = bk 0 z ( (z) 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), 1 f z p z b z z b z k pk k p = − k − k + − − − − 在0 z − bk 内， . ( ) ( ) ( ) ( ) z z z b p f z f z k k + − − = . ( ) ( )是这一邻域内的解析函数 z z . ( ) ( ) k pk f z f z b − 是 的一级极点且留数为