复变函数第一节孤立奇点一、孤立奇点的概念二、函数的零点与极点的关系三、函数在无穷远点的性态四、小结与思考U
第一节 孤立奇点 一、孤立奇点的概念 二、函数的零点与极点的关系 三、函数在无穷远点的性态 四、小结与思考
复变函数孤立奇点的概念一、定义如果函数 f(z)在 zo不解析,但f(z)在 zo的某一去心邻域0<z一zol<内处处解析,则称zo为f()的孤立奇点sin z例1z=0 是函数的孤立奇点。pZz=-1是函数的孤立奇点。z+1注意：孤立奇点一定是奇点，但奇点不一定是孤立奇点。u
2 一、孤立奇点的概念 定义 如果函数 0 f (z) 在 z 不解析, 但 f (z) 在 0 z 的某一去心邻域 − 0 0 z z 内处处解析, 则称 0 z 为 f (z) 的孤立奇点. 例1 z = 0 是函数 z z e z sin , 1 的孤立奇点. z = −1 是函数 1 1 z + 的孤立奇点. 注意: 孤立奇点一定是奇点, 但奇点不一定是孤 立奇点
复变函数例2 指出函数f(z)=在点Z=0的奇点特性1sinZ解函数的奇点为1Z=O, Z(k =±1,±2,.)二k元1因为= 0,limk->00 k元即在z=0的不论怎样小的去心邻域内,总有f(z)的奇点存在，所以z=0不是孤立奇点u
3 例2 指出函数 在点 z = 0 z z f z 1 sin ( ) 2 = 的奇点特性. 解 = = k z z 1 0, (k = 1, 2, ) 因为 0， 1 lim = k→ k 即在 z = 0 的不论怎样小的去心邻域内, 的奇点存在, 函数的奇点为 总有 f (z) 所以 z = 0 不是孤立奇点
复变函数孤立奇点的分类依据f()在其孤立奇点z的去心邻域0<一zol< 内的洛朗级数的情况分为三类2．极点;1．可去奇点；3．本性奇点1.可去奇点1) 定义如果洛朗级数中不含z一zo的负幂项那末孤立奇点z称为f（z）的可去奇点u
4 孤立奇点的分类 依据 f (z) 在其孤立奇点 0 z 的去心邻域 − 0 0 z z 内的洛朗级数的情况分为三类: 1．可去奇点 1．可去奇点; 2．极点; 3．本性奇点. 如果洛朗级数中不含 z − z0 的负幂项, 0 那末孤立奇点 z 称为 f (z) 的可去奇点. 1) 定义
复变函数说明：(1)Z若是f(z)的孤立奇点f(z) =co + ci(z - zo)+...+ cn(z - zo)" +...(0<z-Zo<8)其和函数F(z)为在Zo解析的函数(2)无论 f(z)在 Zo 是否有定义,补充定义f(zo）= Co’则函数 f(z）在 zo 解析F(z), z± Zof(zo) = lim f(z)f(z) =Z-70Co 2 Z = ZoU
5 其和函数 F(z) 为在 0 z 解析的函数. = = 0 0 0 , ( ), ( ) c z z F z z z f z 说明: (1) ( ) , z0若是f z 的孤立奇点 ( ) ( ) ( ) . f z = c0 + c1 z − z0 ++ cn z − z0 n + ( 0 ) 0 z − z ( ) lim ( ) 0 0 f z f z z→z = ( ) , 0 0 f z = c (2) 无论 在 是否有定义, f (z) 0 z 补充定义 则函数 在 0 f (z) z 解析