《复变函数与积分变换》课程教学资源（PPT课件）第五章 留数及其应用 5.3 第三节 留数在定积分计算上的应用

复变函数第三节留数在定积分计算上的应用一、形如Rcose,sine)de的积分二、形如R(x）dx的积分三、形如R(xleidx（a>）的积分四、小结与思考U

一、形如  的积分 2π 0 R(cos ,sin )d 二、形如  R x x 的积分 + − ( )d 三、形如  ( ) d (  0) 的积分 + − R x e x a aix 第三节 留数在定积分计算上的应用 四、小结与思考

复变函数一、形如JR(cosO,sin)de 的积分把定积分化为一个复变函数沿某条思想方法：封闭路线的积分：两个重要工作：1)积分区域的转化2）被积函数的转化u

2 一、形如  的积分 2π 0 R(cos ,sin )d 思想方法 : 封闭路线的积分 . 两个重要工作: 1) 积分区域的转化 2) 被积函数的转化 把定积分化为一个复变函数沿某条

复变函数形如 ( R(cos,sinの)dedz令=eio—d=iedde=izz-1(eio-e-iosin 0-2i2izz°+1io.AcOsO:=(e一+e三22z当 θ 历经变程[0,2元]时,z沿单位圆周z=1的正方向绕行一周U

3 形如 i 令 z = e   d d i z = ie , d d iz z  = ( ) 2 1 sin    i i e e i − = − , 2 1 2 iz z − = ( ) 2 1 cos    i i e e − = + , 2 1 2 z z + = 当  历经变程 [0,2π ] 时,  2π 0 R(cos ,sin )d z 沿单位圆周 z = 1 的正方向绕行一周

复变函数2元R(cos0,sin0)deJ0z-1dzLRt2z2记记z=1ntizl0 f(z)dz =2元Res[f(z),zk)k=1Z=包围在单位圆周z的有理函数，且在内的诸孤立奇点单位圆周上分母不为零，满足留数定理的条件：u

4 (cos ,sin )d 2π 0 R iz z iz z z z R z d 2 1 , 2 1 1 2 2  =       + − = f z z z ( )d 1  = = z的有理函数 , 且在 单位圆周上分母不 为零 , 满足留数定 理的条件 . 包围在单位圆周 内的诸孤立奇点. 2π Res ( ), . 1 = = n k k i f z z

复变函数sin?2元de例1计算积分(a>b>0J。a+bcose解令z=eio，则2°+1z2-1dz = ieiodo,cosasine一2z2zisin?0 (z -1)2dz2元de=iz2z2 +1a+ bcoso-4z[z|=1a+b2z(z - 1)2f-2iz2(b2 +2a2+b)dz.三z=1U

5 例1 计算积分 d ( 0) cos 2π sin 0 2   +  a b a b    解 , i 令 z = e 则 , 2 1 sin 2 zi z −  = , 2 1 cos 2 z z +  = d d , i z = ie iz z z z a b z z a b z d 2 1 1 4 ( 1) d cos sin 2 1 2 2 2 2π 0 2          + +  − − = +   =     = − + + − = 1 2 2 2 2 d 2 ( 2 ) ( 1) z z iz bz az b z