《复变函数与积分变换》课程教学资源（PPT课件）第六章 共形映射 6.4 第四节 几个初等函数所构成的映射

复变函数第四节几个初等函数所构成的映射一、幂函数二、指数函数三、儒可夫斯基函数四、小结与思考U

第四节 几个初等函数所构成 的映射 一、幂函数 二、指数函数 三、儒可夫斯基函数 四、小结与思考

复变函数一、幂函数 w= z"(n≥2为自然数)该函数在z平面内处处可导，导数dw-=nzdz.(1)当z±0时:dw≠0.则在z平面内除原点外dz由w=zn所构成的映射是处处共形的u

2 一、幂函数 w = z (n  2为自然数) n 1 d d − = n nz z w (1)当z  0时 : 0, , d d 则在z平面内除原点外 z w  由 所构成的映射是处处共形的. n w = z 该函数在z平面内处处可导，导数

复变函数(2)当z =0时:令z= reio,W=peig，有p=r",Φ= ng.则:1)圆周z= r圆周w= rn(特殊地：单位圆周映射为单位圆周)射线=n2)射线0=0(正实轴θ=0映射成正实轴@=0)u

3 (2)当z = 0时 : , ,    i i 令 z = re w = e  r , n . n 有 = = 则: 1) 圆周 z = r n 圆周w = r (特殊地: 单位圆周映射为单位圆周) 射线 =  0 射线 = n 0 (正实轴 = 0映射成正实轴 = 0) 2)

复变函数2（）一3)角形域0<0<(角形域0<<n(w)(z)ne.0.00即在z=0处角形域的张角经过映射变为原来的n倍。因此,当n≥2时,映射w = z"在z= 0处没有保角性u

4 2π 3) 0 0          n 角形域   角形域0    n 0 . 0 来的 倍 即在 处角形域的张角经过映射变为原 n z =  0 n 0 0 (w) 0 (z) 因此,当n  2时,映射w = z 在 z = 0处没有保角性. n

复变函数特殊地：2元角形域0<θ角形域0<θ<2元n(z)(w)上岸2元0下岸沿正实轴剪开的w平面θ=0映射成正实轴的上岸β=02元0=映射成正实轴的下岸@2元nU

5 0 (z) 特殊地: 2π 0 n 角形域    角形域0    2π n 2  = 0映射成正实轴的上岸 = 0 2π 2π  = 映射成正实轴的下岸 = n 上岸 (w) 0 沿正实轴剪开的w平面 下岸