《复变函数与积分变换》课程教学资源（PPT课件）第五章 留数及其应用 5.2 第二节 留数

复变函数第二节留数一、留数的引入二、利用留数求积分三、在无穷远点的留数四、典型例题五、小结与思考u

第二节 留 数 一、留数的引入 二、利用留数求积分 三、在无穷远点的留数 四、典型例题 五、小结与思考

复变函数一、留数的引入设 z为f(z)的一个孤立奇点;Zo的某去心邻域0<Z一Zol<R.0C邻域内包含zo的任一条正向简单闭曲线f(z)在 0<z-zol<R 内的洛朗级数:f(z) =...+ c-n(z - zo)-n +...+ c-i(z - zo)-1 +.+ Co+c(z- zo)+...+ cn(z- zo)" +..u

2 一、留数的引入 0 1 0 1 0 f (z) c (z z ) c (z z ) c n = + n − + + − + + − − −  −   C 0 设 z 为 f (z) 的一个孤立奇点; f (z)  z − z  R 内的洛朗级数: 0 在 0 + c1 (z − z0 ) ++ cn (z − z0 ) n + 0 z . z0 的某去心邻域 0  z − z0  R 邻域内包含 0 z 的任一条正向简单闭曲线

复变函数积分f(z)dzCn+(z - zo)-n dz + ..+ c-1+(z - zo)-I dz + .....+ c-n二11（高阶导数公式）2元i0+ fcodz+fc(z - zo)dz +.+fc,(z - zo)"dz +.CCC0 (柯西-古萨基本定理)=2元ic-1洛朗级数中负幂项c-l(z-zo)-1的系数u

3 = 2 −1 ic +  c z +  c z − z z ++  c z − z n z + C n C C 0d 1 ( 0 )d ( 0 ) d = + −  − − ++ −  − − + C C n n c (z z ) dz c (z z ) dz 1 0 1 0  C 积分 f (z)dz 0 (高阶导数公式) 0 (柯西-古萨基本定理) 2i 洛朗级数中负幂项c−1 (z − z0 ) −1的系数

复变函数即 C-1 =f(z)dz = ResLf (z), zo)2元iCf(z)在zo的留数定义 如果 z为函数f(z)的一个孤立奇点,则沿在z的某个去心邻域<ZlR内包含Z的任意一条简单闭曲线 C的积分f(z)dz 的值除C以2元i后所得的数称为 f(z)在z的留数记作Res[f(z),zol. (即f(z)在zo为中心的圆环域内的洛朗级数中项c-1(z-zo)的系数)1

4 f z z i c C ( )d 2 1 1   即 − = Res[ ( ), ]0 = f z z f (z)在z0的留数 定义 记作 Res[ ( ), ]. 0 f z z 域内的洛朗级数中负 ( ) .) 1 幂项c−1 z − z0 − 的系数 (即 f (z)在z0为中心的圆环 ( ) 0 z 为函数 f z 的一个孤立奇点, 则沿 在z0的某个去心邻域0  z − z0  R 内包含 0 z 的 任意一条简单闭曲线 C 的积分  C f (z)dz 的值除 2i 后所得的数称为 ( ) . 以 f z 在z0的留数 如果

复变函数二、利用留数求积分函数f(z)在区域D内除有限个孤1.留数定理立奇点z1,2，",zn外处处解析C是D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线，那末1 f(z)dz = 2元iERes[f(z),zl.k=1C说明：1.f(z)在C上及C内部处处解析：2.留数定理将沿封闭曲线C积分转化为求被积函数在C内各孤立奇点处的留数u

5 二、利用留数求积分 说明: 1. f (z)在C上及C内部处处解析； 2. 留数定理将沿封闭曲线C积分转化为求 被积函数在C内各孤立奇点处的留数. 1.留数定理 f (z) 在区域 D内除有限个孤 n z ,z , ,z 1 2  外处处解析, C 是 D内包围诸奇 点的一条正向简单闭曲线, 那末 ( )d 2 Res[ ( ), ]. 1  = =  n k k C f z z i f z z 立奇点 函数