《复变函数与积分变换》课程教学资源（PPT课件）第三章 复变函数的积分 3.3 第三节 基本定理的推广——复合闭路定理

复变函数第三节 基本定理的推广复合闭路定理一、问题的提出二、复合闭路定理三、典型例题四、小结与思考U

第三节 基本定理的推广 一、问题的提出 二、复合闭路定理 三、典型例题 复合闭路定理 四、小结与思考

复变函数问题的提出一、实例，计算dz.Jz=2 z 1因为z=2是包含z=1在内的闭曲线根据本章第一节例4可知，dz = 2元i.Jz/=2 z -1由此希望将基本定理推广到多连域中1

2 一、问题的提出  =2 − d . 1 1 , z z z 实例 计算 因为 z = 2是包含z = 1在内的闭曲线, 根据本章第一节例4可知,  = =  2 − d 2 . 1 1 z z i z 由此希望将基本定理推广到多连域中

复变函数二、复合闭路定理1.闭路变形原理设函数 f(z)在多连通域内解析C 及C,为D内的任意两条简单闭曲线(正向为逆时针方向)AIABCBC 及C, 为边界的区域DDiD全含于D.作两段不相交的弧段AA' 和 BB'U

3 二、复合闭路定理 1. 闭路变形原理 设函数 f (z)在多连通域内解析, ( ), 1 单闭曲线 正向为逆时针方向 C 及C 为 D内的任意两条简 . 1 1 D C C D 全含于 及 为边界的区域 D C C1 D1 A A B B 作两段不相交的弧段 AA和 BB , ︵ ︵

复变函数为了讨论方便添加字符E,E,F,F'显然曲线AEBB'EA'A,AA'F'B'BFA均为封闭曲线因为它们的内部全含于D故S f(z)dz = 0,AEBB'E'A'AB f(z)dz = 0.DDAA'F'B'BFAAEBB'E'A'A = AEB + BB' + B'E'A' +AAAA'F'B'BFA = AA' +A'F'B' + B'B + BFAU

4 D C C1 D1 A A B B E E F F 显然曲线AEBBEAA, AAFBBFA 为了讨论方便,添加字符E, E , F, F , 均为封闭曲线. 因为它们的内部全含于D, ( )d = 0,  AEBBEAA 故 f z z ( )d = 0.  AAFBBFA f z z AEBBEAA = AEB + BB + BEA + AA, ︵ ︵ ︵ ︵ AAFBBFA = AA + AFB + BB + BFA, ︵ ︵ ︵ ︵

复变函数由f f(z)dz + f(z)dz = 0, 得AEBB'E'AAAA'F'B'BFAff(z)dz + ff(z)dz+ ff(z)dz+ ff(z)dzAA'C1f f(z)dz + f f(z)dz = 0,+ABBBB'BD即f f(z)dz + f f(z)dz = 0,CC1或f f(z)dz = f f(z)dz.CCiu

5  AEBBEAA 由 f (z)dz + ( )d = 0,  AAFBBFA f z z 得 D C C1 D1 A A B B E E F F  C f (z)dz  − + 1 ( )d C f z z   + AA f (z)dz ︵   + A A f (z)dz ︵ + ( )d = 0,  BB f z z ︵   + B B f (z)dz ︵ ( )d ( )d 0, 1 + =   − C C 即 f z z f z z ( )d ( )d . 1   = C C 或 f z z f z z