《复变函数与积分变换》课程教学资源（PPT课件）第四章 解析函数的级数表示 4.4 第四节 洛朗级数

复变函数第四节洛朗级数一、问题的引入二、洛朗级数的概念三、函数的洛朗展开式四、典型例题五、小结与思考u

第四节 洛朗级数 二、洛朗级数的概念 三、函数的洛朗展开式 一、问题的引入 五、小结与思考 四、典型例题

复变函数一、问题的引入问题:如果,f(z)在 z 不解析,是否能表示为z一zo的幂级数8c,(z- o)"1.双边幂级数n=-80n=00Zecn(z-zo)" -Ec-n(z-zo)-n +Ecn(z-zo)"n=1n=0n=-80正幂项部分负幂项部分收敛主要部分解析部分同时收敛U

2 一、问题的引入 问题: . ( ) , 0 0 的幂级数 如果 f z 在 z 不解析 是否能表示为z − z n n n 1. c (z z )  − 0  =−  双边幂级数 负幂项部分 正幂项部分 主要部分 解析部分 同时收敛 收敛  − = = =−  n n n n c (z z ) 0 n n n n n n c (z z ) c (z z ) 0 0 0 1  − + −  = −  = −

复变函数82令=(zzo)-1Zc-n(z-zo)-n-nSCn=1n=18收敛半径Zcn(z-zo)"Rn=0S< R时,收敛收敛半径R2收敛域收敛域R-Z-Zol< R2R若(1)R >R2：两收敛域无公共部分(2)R<R2：两收敛域有公共部分R<zzo<R2u

3 n n n c (z z ) 0 0  −  = n n n c z z −  =  − ( − ) 0 1 1 0 ( ) − 令 = z − z n n n c   = − 1 收敛半径   R时,收敛 0 1 1 R R z − z  = 收敛域 收敛半径 R2 0 R2 z − z  收敛域 (1) : 若 R1  R2 两收敛域无公共部分, (2) : R1  R2 两收敛域有公共部分 . 1 0 R2 R  z − z  R

复变函数2.结论：双边幂级数c,(z-zo)"的收敛区域为n=-00R2圆环域R<-Zol<R21R1常见的特殊圆环域：R2100Zo<R R<Zol000<z-zo8u

4 结论: 双边幂级数 n的收敛区域为 n n c (z z )  − 0  =−  . 1 0 R2 圆环域R  z − z  R1 R2 . 0 z 常见的特殊圆环域: R2 . 0 z 0 0 R2  z − z  R1 . 0 z R1  z − z0   0  z − z0   . 0 z

复变函数2.问题：在圆环域内解析的函数是否一定能展开成级数？在z=0及z=1都不解析例如，f(z)=z(1 - z)但在圆环域0<<1及0<z-1<1内都是解析的在圆环域0<z<1内：1f(z)=z(1 - z)1-77而1+z+z+..+z"+..z<1二1-zU

5 在圆环域 0  z  1内: 例如， 0 1 (1 ) 1 ( ) = = − = z z z z f z 在 及 都不解析, 但在圆环域 0  z  1 及 0  z − 1  1 内都是解析的. (1 ) 1 ( ) z z f z − = 而 1 , 1 1 1 2 = + + + + +  − z z z z z  n  2. 问题:在圆环域内解析的函数是否一定能展开 成级数? , 1 1 1 z − z = +